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chapitre VIII. — le champ électromagnétique.

On a donc

$e'\,dx\,dy\,dz\,dt=e\,dx'\,dy'\,dz'\,dt',$

et puisque l’élément d’hypervolume est un invariant (n^o 23),

(25-8)

$e=e'.$

La charge d’un corps mesurée dans un système quelconque a toujours la même valeur ; ce qui revient à dire que l’observateur lui trouve la même valeur à l’état de repos ou à l’état de mouvement. La charge électrique est un invariant.

39. Application. Champ électromagnétique d’une charge en mouvement. Formule de Laplace.

Une charge $e$ produit, dans un système $\mathrm {S}$ par rapport auquel elle est immobile, un pur champ électrostatique. Dans le système $\mathrm {S} '$ de l’observateur, qui est animé de la vitesse $(-v)$ relativement à la charge, le champ est mixte ; il existe un champ électrique et un champ magnétique.

En un point que nous pouvons prendre dans le plan des $xy$ et que nous définissons dans le système $\mathrm {S}$ de la charge par sa distance $r$ à la charge et par l’angle $\varphi$ de la vitesse $v$ et du champ électrique, on a, pour les composantes du champ,

(26-8)

$\mathrm {X} ={\frac {e\cos \varphi }{r^{2}}},\qquad \mathrm {Y} ={\frac {e\sin \varphi }{r^{2}}},\qquad \mathrm {Z} =0\,;$ $\mathrm {L} =\mathrm {M} =\mathrm {N} =0.$

Il s’agit de passer au système $\mathrm {S} '$ de l’observateur ; nous devons transformer la force électrique et les coordonnées de position. L’application des formules (4-8) donne, la vitesse du système $\mathrm {S} '$ par rapport au système $\mathrm {S}$ étant $(-v),$

(27-8)

${\begin{aligned}\mathrm {X} '&=\mathrm {X} &\mathrm {Y} '&={\frac {1}{\alpha }}\mathrm {Y} ={\frac {1}{\alpha }}{\frac {e\sin \varphi }{r^{2}}},&\mathrm {Z} '&=0,\end{aligned}}$

(28-8)

${\begin{aligned}\mathrm {L} '&=0,&\mathrm {M} '&=0,&\mathrm {N} '&={\frac {1}{\alpha }}{\frac {v}{c}}\mathrm {Y} ={\frac {1}{\alpha }}{\frac {v}{c}}{\frac {e\sin \varphi }{r^{2}}}\cdot \end{aligned}}$

Dans le système de l’observateur, les longueurs parallèles à $\mathrm {O} x'$ subissent la contraction de Lorentz relativement aux longueurs