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chapitre XII. — la théorie des surfaces de gauss.

galiléen ; dans ce système $\mathrm {S} ,$ les résultats de la théorie de la relativité restreinte sont applicables. Prenons un second système $\mathrm {S} '$ formé par un disque plan dont le mouvement, par rapport à $\mathrm {S} ,$ est une rotation autour d’un axe normal au plan du disque, passant par le centre de ce disque et fixe dans le système $\mathrm {S} .$ Un observateur situé excentriquement éprouve l’action d’une force qui agit radialement vers l’extérieur ; cette force est interprétée par un observateur du système galiléen $\mathrm {S}$ comme un effet d’inertie : c’est la force centrifuge. Mais, d’autre part, l’observateur entraîné avec $\mathrm {S} '$ doit considérer son disque comme un corps de référence immobile et doit interpréter la force qui agit sur lui et sur les corps au repos par rapport au disque comme l’effet d’un certain champ de gravitation. Il est à peine besoin de faire remarquer que ce champ de force possède une structure qui n’a aucun rapport avec celle du champ de gravitation au voisinage d’une masse attirante, mais conformément à la généralisation à laquelle nous autorise le principe d’équivalence, nous appelons quand même ce champ un champ de gravitation ou, si l’on préfère, un champ de gravitation géométrique.

L’observateur de $\mathrm {S} '$ prend deux horloges identiques marquant toujours la même heure tant qu’elles restent au même point. Il place l’une au centre du disque et transporte l’autre en un point du disque à la distance $r$ du centre ; les deux horloges sont immobiles dans le système $\mathrm {S} '$ du disque ; vont-elles rester synchrones ? certainement non. Examinons-les, en effet, du système galiléen $\mathrm {S} :$ celle qui est au centre n’a pas de vitesse, l’autre est en mouvement nous savons que cette dernière va marcher plus lentement. Cet effet sera constaté par l’observateur du disque, car il s’agit d’un effet bien réel et non d’une apparence, le temps propre $\tau$ au point situé à la distance du centre étant plus court que le temps $t$ du système galiléen qui est le temps au centre :

$d\tau ={\sqrt {1-{\frac {\omega ^{2}r^{2}}{c^{2}}}}}\,dt,$

de sorte qu’au bout de quelque temps, en ramenant l’horloge du point $r$ au centre du disque, l’observateur constatera qu’elle est en retard sur celle qui est restée au centre.

À chaque distance $r$ correspond un temps propre ; c’est dire