CHAPITRE XIII.
NOTIONS DE CALCUL TENSORIEL[1]
S’il est légitime d’employer des coordonnées arbitraires, quelle peut être leur utilité et quel but poursuivons-nous ?
Nous cherchons comment, conformément au principe de relativité généralisé, la covariance des équations de la Physique peut être obtenue ; et si, dans l’Univers réel, nous reconnaissons que les potentiels de gravitation doivent être assujettis à certaines relations, ces relations exprimeront la loi générale de la gravitation.
Dans la théorie de la relativité généralisée, l’invariant joue un rôle fondamental. On est conduit, de plus, à envisager des êtres mathématiques appelés tenseurs ; chacun d’eux est défini par un certain nombre de fonctions qui sont dites « composantes du tenseur ». Le « calcul différentiel absolu », créé par Riemann, Christoffel, Ricci et Levi-Civita (antérieurement à la théorie d’Einstein) donne les règles permettant de calculer les composantes d’un tenseur dans un nouveau système de coordonnées lorsqu’on connaît ces composantes pour un premier système, et lorsque, bien entendu, la transformation qui relie les deux systèmes est donnée.
Les tenseurs sont caractérisés par le fait que les équations de transformation de leurs composantes sont linéaires et homogènes : si toutes les composantes d’un tenseur sont nulles dans un système de coordonnées, elles disparaissent aussi dans tous les autres systèmes. Une loi naturelle formulée par l’annulation d’un tenseur, ce qui veut dire par l’annulation de toutes les composantes d’un tenseur, ou formulée par l’égalité de deux ten-
- ↑ D’après Einstein (Ann. d. Physik, 1916, p. 19) et Eddington (Report on the relativity theory of gravitation, 1990 ; Espace, Temps et Gravitation, édition française, traduction par Jacques Rossignol, 1921).
