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chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.

De même soit

$\mathrm {D} _{\mu \nu }^{\sigma \tau }=\mathrm {A} _{\mu \nu }\mathrm {B} ^{\sigma \tau }\,;$

si, par contraction, nous formons

$\mathrm {D} _{\mu }^{\tau }=\mathrm {D} _{\mu \nu }^{\nu \tau }=\mathrm {A} _{\mu \nu }\mathrm {B} ^{\nu \tau }$

nous faisons une opération mixte, car c’est une multiplication extérieure vis-à-vis de $\mu$ et $\tau ,$ intérieure vis-à-vis de $\nu$ et $\sigma$.

64. Procédés permettant de reconnaître le caractère tensoriel.

Procédé par invariance d’un produit intérieur. — D’après ce qui précède, le produit intérieur $\mathrm {A} _{\mu \nu \ldots }^{\alpha \beta \ldots }\mathrm {B} _{\alpha \beta \ldots }^{\mu \nu \ldots }$ est un scalaire lorsque $\mathrm {A} _{\mu \nu \ldots }^{\alpha \beta \ldots }$ et $\mathrm {B} _{\varepsilon \eta \ldots }^{\sigma \tau \ldots }$ sont deux tenseurs tels que les ordres de covariance et de contrevariance du second soient respectivement égaux aux ordres de contrevariance et de covariance du premier.

Inversement, lorsqu’un groupe de quantités $\mathrm {A} (\mu \nu \ldots \,\alpha \beta \ldots )$ déterminées par $n$ indices, comme un tenseur, mais dont on ignore a priori la nature, est tel que

(9-13)

$\mathrm {A} (\mu \nu \ldots \,\alpha \beta \ldots )\mathrm {B} _{\alpha \beta \ldots }^{\mu \nu \ldots }=$ invariant

pour un choix arbitraire d’un tenseur $\mathrm {B} _{\alpha \beta \ldots }^{\mu \nu \ldots }$ à $n$ indices dont $n'$ indices covariants et $n''$ indices contrevariants, on peut affirmer que $\mathrm {A} (\mu \nu \ldots \,\alpha \beta \ldots )$ est un tenseur contrevariant d’ordre $n'$ et covariant d’ordre $n''.$

En effet, d’après (9-13), on a pour une transformation arbitraire

(10-13)

$\mathrm {A} '(mn\ldots \,ab\ldots )\mathrm {B} _{ab\ldots }^{\prime mn\ldots }=\mathrm {A} (\mu \nu \ldots \,\alpha \beta \ldots )\mathrm {B} _{\alpha \beta \ldots }^{\mu \nu \ldots }.$

Or, par inversion des formules (6-13) et (7-13) généralisées, on a

$\mathrm {B} _{\alpha \beta \ldots }^{\mu \nu \ldots }={\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x'_{m}}}{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{n}}}\cdots {\frac {\partial x'_{a}}{\partial x_{\alpha }}}{\frac {\partial x'_{b}}{\partial x_{\beta }}}\cdots \mathrm {B} _{ab\ldots }^{\prime mn\ldots }\,;$

transportant dans (10-13), il vient

${\begin{aligned}{\bigg [}\mathrm {A} '&(mn\ldots ab\ldots )-\\&\left({\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x'_{m}}}{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{n}}}\cdots {\frac {\partial x'_{a}}{\partial x_{\alpha }}}{\frac {\partial x'_{b}}{\partial x_{\beta }}}\cdots \right)\mathrm {A} (\mu \nu \ldots \alpha \beta \ldots ){\bigg ]}\mathrm {B} _{ab\ldots }^{\prime mn\ldots }=0.\end{aligned}}$