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deuxième partie. — la relativité généralisée.

Cette équation devant avoir lieu quel que soit le choix de $\mathrm {B} ',$ la quantité entre crochets est nulle. $\mathrm {A} (\mu \nu \ldots \alpha \beta \ldots )$ se transforme donc conformément aux règles de définition d’un tenseur $\mathrm {A} _{\mu \nu \ldots }^{\alpha \beta \ldots }$ contrevariant par rapport aux indices $\alpha ,\beta ,\ldots$ et covariant par rapport aux indices $\mu ,\nu ,\ldots ,$ ce qui démontre la proposition.

Par exemple, si $\mathrm {A} (\mu \nu )\mathrm {B} ^{\mu \nu }$ est un invariant pour un choix arbitraire d’un tenseur $\mathrm {B} ^{\mu \nu }$ contrevariant du second ordre, $\mathrm {A} (\mu \nu )$ est un tenseur covariant du second ordre $\mathrm {A} _{\mu \nu }.$

De même, soient $\mathrm {B} ^{\mu }$ et $\mathrm {C} ^{\nu }$ des quadrivecteurs arbitraires ; si le produit intérieur $\mathrm {A} (\mu \nu )\mathrm {B} ^{\mu }\mathrm {C} ^{\nu }$ est un scalaire, $\mathrm {A} (\mu \nu )$ est un tenseur covariant du second ordre $\mathrm {A} _{\mu \nu }.$

Ce dernier résultat est encore exact si, pour un quadrivecteur quelconque $\mathrm {B} ^{\mu },$ le produit intérieur $\mathrm {A} (\mu \nu )\mathrm {B} ^{\mu }\mathrm {B} ^{\nu }$ est un invariant et si, de plus, la quantité $\mathrm {A} (\mu \nu )$ est symétrique $[\mathrm {A} (\mu \nu )=\mathrm {A} (\nu \mu )].$ On voit en effet aisément que $\mathrm {A} (\mu \nu )+\mathrm {A} (\nu \mu )$ a le caractère tensoriel, d’où il résulte, à cause de la symétrie, que $\mathrm {A} (\mu \nu )$ est un tenseur. Bien entendu, si $\mathrm {B} ^{\mu }$ est contrevariant, $\mathrm {A} _{\mu \nu }$ est covariant, et si $\mathrm {B} _{\mu }$ est covariant, $\mathrm {A} ^{\mu \nu }$ est contrevariant.

Loi du quotient (Eddington). — Une quantité, qui peut s’exprimer symboliquement comme le quotient d’un tenseur par un quadrivecteur, est elle-même un tenseur ou plus précisément un groupe de quantités dont le produit intérieur par un quadrivecteur (covariant ou contrevariant) quelconque est un tenseur est lui-même un tenseur.

Supposons en effet que le produit de $\mathrm {A} (\mu \nu \sigma \ldots \alpha \beta \ldots )$ par $\mathrm {B} ^{\nu }$ soit un tenseur covariant par rapport à $\mu \sigma \ldots ,$ contrevariant par rapport à $\alpha \beta \ldots$ quel que soit le quadrivecteur $\mathrm {B} ^{\nu }.$ On a

${\begin{aligned}\mathrm {A} '&(mns\ldots ab\ldots )\mathrm {B} '^{n}\\&\quad ={\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x'_{m}}}{\frac {\partial x_{\sigma }}{\partial x'_{s}}}\cdots {\frac {\partial x'_{a}}{\partial x_{\alpha }}}{\frac {\partial x'_{b}}{\partial x_{\beta }}}\cdots [\mathrm {A} (\mu \nu \sigma \ldots \alpha \beta )\mathrm {B} ^{\nu }]\,;\end{aligned}}$

or

$\mathrm {B} ^{\nu }={\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{n}}}\mathrm {B} '^{n}\,;$

substituant, on obtient

${\begin{aligned}{\bigg [}\mathrm {A} '&(mns\ldots ab\ldots )-\\&{\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x'_{m}}}{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{n}}}{\frac {\partial x_{\sigma }}{\partial x'_{s}}}\cdots {\frac {\partial x'_{a}}{\partial x_{\alpha }}}{\frac {\partial x'_{b}}{\partial x_{\beta }}}\cdots \mathrm {A} (\mu \nu \sigma \ldots \alpha \beta \ldots ){\bigg ]}\mathrm {B} '^{n}=0,\end{aligned}}$

$\mathrm {B} '^{n}$ étant arbitraire, la quantité entre crochets est nulle, ce qui