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chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.

prouve que $\mathrm {A} (\mu \nu \sigma \ldots \alpha \beta \ldots )$ obéit à la loi de définition des tenseurs covariants par rapport à $\mu \nu \sigma \ldots$ contrevariants par rapport à $\alpha \beta \ldots .$

En particulier, si $\mathrm {A} (\mu \nu )\mathrm {B} ^{\nu }$ est un quadrivecteur covariant [ou $\mathrm {A} (\mu \nu )\mathrm {B} _{\nu }$ un quadrivecteur contrevariant] pour un choix arbitraire du quadrivecteur $\mathrm {B} ^{\nu }$ (ou $\mathrm {B} _{\nu }$ ), on peut en conclure que $\mathrm {A} (\mu \nu )$ est un tenseur du second ordre covariant (ou contrevariant).

65. Les tenseurs fondamentaux.

Le tenseur covariant fondamental $g_{\mu \nu }.$ — Dans l’expression de l’invariant $ds^{2}$ (8-12)

(11-13)

ds^{2}=g_{\mu \nu }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }

$dx_{\mu }$ joue le rôle d’un quadrivecteur contrevariant arbitraire. Comme $g_{\mu \nu }$ est symétrique $(g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }),$ il résulte d’une des règles indiquées au n^o 64 que $g_{\mu \nu }$ est un tenseur covariant symétrique du second ordre.

Le tenseur contrevariant fondamental $g^{\mu \nu }.$ — Écrivons le déterminant des $g_{\mu \nu }$

(12-13)

g=\left|{\begin{array}{ccc}g_{11}&g_{12}&g_{13}&g_{14}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}&g_{24}\\g_{31}&g_{32}&g_{33}&g_{34}\\g_{41}&g_{42}&g_{43}&g_{44}\\\end{array}}\right|\qquad g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu },

puis formons le mineur de chaque $g_{\mu \nu }$ et divisons chaque mineur par la valeur $g$ du déterminant. Nous obtenons 16 grandeurs $g^{\mu \nu }$ (10 seulement sont distinctes, car $g^{\mu \nu }=g^{\nu \mu }$ ) qui constituent un tenseur contrevariant, ainsi que nous allons le montrer.