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chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.

opérations précédentes et former la dérivée covariante d’un tenseur quelconque. Prenons le cas d’un tenseur covariant du second ordre. Un tel tenseur peut être considéré comme la somme de tenseur du type $\mathrm {B} _{\lambda }\mathrm {C} _{\mu }$^[1] ; d’après (36-13), les expressions

${\frac {\partial \mathrm {B} _{\lambda }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\lambda \nu \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {B} _{\varepsilon }\,;\qquad {\frac {\partial \mathrm {C} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {C} _{\varepsilon }$

sont des tenseurs. Multiplions la première expression par $\mathrm {C} _{\mu },$ la seconde par $\mathrm {B} _{\lambda }:$ nous obtenons des tenseurs d’ordre 3, dont l’addition donne le tenseur

(38-13)

$\mathrm {A} _{\lambda \mu \nu }={\frac {\partial \mathrm {A} _{\lambda \mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\lambda \nu \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\varepsilon \mu }-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\lambda \varepsilon }$

en posant $\mathrm {A} _{\lambda \mu }=\mathrm {B} _{\lambda }\mathrm {C} _{\mu }.$ Comme le second membre est linéaire et homogène relativement aux $\mathrm {A} _{\lambda \mu }$ et à leurs dérivées premières, cette formation reste la même pour une somme de tenseurs tels que $\mathrm {B} _{\lambda }\mathrm {C} _{\mu },$ c’est-à-dire pour un tenseur covariant quelconque d’ordre 2. Le tenseur $\mathrm {A} _{\lambda \mu \nu }$ est appelé « dérivée covariante du tenseur $\mathrm {A} _{\lambda \mu }.$ ».

Le résultat

(39-13)

$\mathrm {A} _{\lambda \mu \nu }=\left(\mathrm {B} _{\lambda }\mathrm {C} _{\nu }\right)_{\nu }=\mathrm {B} _{\lambda \nu }\mathrm {C} _{\mu }+\mathrm {B} _{\lambda }\mathrm {C} _{\mu \nu }$

1. Von Laue donne la démonstration suivante (Die Relativitätstheorie, II Band, p. 49). Soit un tenseur du deuxième ordre, $\mathrm {A} _{\lambda \mu }$ désignant ses composantes pour un certain système de coordonnées. Donnons-nous d’une manière absolument arbitraire un groupe de quatre quadrivecteurs ayant dans le système considéré les composantes $\mathrm {B} _{\lambda },$ $\mathrm {C} _{\lambda },$ $\mathrm {D} _{\lambda },$ $\mathrm {E} _{\lambda }\,;$ nous supposerons toutefois que le déterminant formé par les $\mathrm {B} _{\lambda },$ $\mathrm {C} _{\lambda },$ $\mathrm {D} _{\lambda },$ $\mathrm {E} _{\lambda },$ est différent de zéro. Nous pouvons alors déterminer un second groupe de quatre quadrivecteurs de composantes $\mathrm {B} '_{\lambda },$ $\mathrm {C} '_{\lambda },$ $\mathrm {D} '_{\lambda },$ $\mathrm {E} '_{\lambda },$ tel que
   $\mathrm {A} _{\lambda \mu }=\mathrm {B} _{\lambda }\mathrm {B} '_{\mu }+\mathrm {C} _{\lambda }\mathrm {C} '_{\mu }+\mathrm {D} _{\lambda }\mathrm {D} '_{\mu }+\mathrm {E} _{\lambda }\mathrm {E} '_{\mu }.$

   On aura en effet $\mathrm {B} '_{1},$ $\mathrm {C} '_{1},$ $\mathrm {D} '_{1},$ $\mathrm {E} '_{1}$ en considérant les quatre équations linéaires à déterminant non nul

   $\mathrm {A} _{\lambda 1}=\mathrm {B} _{\lambda }\mathrm {B} '_{1}+\mathrm {C} _{\lambda }\mathrm {C} '_{1}+\mathrm {D} _{\lambda }\mathrm {D} '_{1}+\mathrm {E} _{\lambda }\mathrm {E} '_{1}$  ($\lambda ={}$1, 2, 3, 4).

   On obtiendra de même $\mathrm {B} '_{2},\,\mathrm {C} '_{2},$ etc.

   Les tenseurs du deuxième ordre $\mathrm {A} _{\lambda \mu }$ peuvent donc se décomposer en sommes de produits de quatre paires de vecteurs. Cette démonstration se généralise pour un tenseur d’ordre quelconque.