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deuxième partie. — la relativité généralisée.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Remplaçant ${\frac {\partial ^{2}x_{\sigma }}{\partial x'_{\mu }\,\partial x'_{\nu }}}$ par sa valeur tirée de la formule auxiliaire (34), nous avons

(35-13)

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {A} '_{\mu }}{\partial x'_{\nu }}}&-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\rho \end{Bmatrix}}'\mathrm {A} _{\sigma }{\frac {\partial x_{\sigma }}{\partial x'_{\rho }}}\\&\quad ={\frac {\partial x_{\sigma }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\tau }}{\partial x'_{\nu }}}{\frac {\partial \mathrm {A} _{\sigma }}{\partial x_{\tau }}}-{\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\nu }}}{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\sigma }.\end{aligned}}$

Or $\mathrm {A} _{\sigma }{\frac {\partial x_{\sigma }}{\partial x'_{\rho }}}=\mathrm {A} '_{\rho }$ et d’autre part nous pouvons remplacer dans le dernier terme les indices muets $\alpha ,$ $\beta ,$ $\sigma$ par $\sigma ,$ $\tau ,$ $\rho .$ En posant alors

(36-13)

$\mathrm {A} _{\mu \nu }={\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\rho \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\rho },$

l’équation (35) s’écrit

$\mathrm {A} '_{\mu \nu }={\frac {\partial x_{\sigma }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\tau }}{\partial x'_{\nu }}}\mathrm {A} _{\sigma \tau },$

ce qui prouve que $\mathrm {A} _{\mu \nu },$ défini par (36), est un tenseur covariant. Nous avons donc atteint le but que nous nous étions proposé. Ce tenseur se nomme dérivée covariante de $\mathrm {A} _{\mu }$.

Introduisons maintenant le quadrivecteur contrevariant $\mathrm {A} ^{\mu }$ associé à $\mathrm {A} _{\mu }.$ Nous avons

$\mathrm {A} _{\sigma }=g_{\sigma \rho }\mathrm {A} ^{\rho }.$

D’après (36), nous pouvons écrire

$\mathrm {A} _{\sigma \nu }$	$={\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\left(g_{\sigma \rho }\mathrm {A} ^{\rho }\right)-{\begin{Bmatrix}\sigma \nu \\\alpha \end{Bmatrix}}\left(g_{\sigma \alpha }\mathrm {A} ^{\rho }\right)$
	$=g_{\sigma \rho }{\frac {\partial \mathrm {A} ^{\rho }}{\partial x_{\nu }}}+\mathrm {A} ^{\rho }\left({\frac {\partial g_{\sigma \rho }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{bmatrix}\sigma \nu \\\rho \end{bmatrix}}\right)\qquad$ [d’après (28-13)]
	$=g_{\sigma \rho }{\frac {\partial \mathrm {A} ^{\rho }}{\partial x_{\nu }}}+\mathrm {A} ^{\rho }{\begin{bmatrix}\rho \nu \\\sigma \end{bmatrix}}\qquad$ [d’après (29-13)]

Multiplions enfin les deux membres par $g^{\sigma \mu }$ pour faire indice en haut ; nous trouvons

(37-13)

$\mathrm {A} _{\nu }^{\mu }={\frac {\partial \mathrm {A} ^{\mu }}{\partial r_{\nu }}}+{\begin{Bmatrix}\rho \nu \\\mu \end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\rho }.$

Le tenseur mixte $\mathrm {A} _{\nu }^{\mu }$ est la dérivée covariante du quadrivecteur contrevariant $\mathrm {A} ^{\mu }$ (elle est appelée covariante parce que la différentiation introduit un indice covariant $\nu$).

Dérivée covariante d’un tenseur. — On peut généraliser les