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chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.

des coordonnées et qui disparaît en coordonnées galiléennes. Ainsi la composante $\mathrm {A} _{\nu }^{\mu }$ (ou $\mathrm {A} _{\mu \nu }$) de la dérivée covariante doit être considérée comme représentant en chaque point le taux de la variation absolue, suivant la direction $x_{\nu },$ de la composante $\mathrm {A} ^{\mu }$ (ou $\mathrm {A} _{\mu }$) du vecteur ; ${\frac {\partial \mathrm {A} ^{\mu }}{\partial x_{\nu }}}$ ${\bigg (}$ou ${\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}{\bigg )}$ est le taux de la variation apparente ; enfin $-{\begin{Bmatrix}\alpha \nu \\\mu \end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\alpha }$ ${\bigg (}$ou ${\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\alpha }{\bigg )}$ est le taux de la pseudo-variation.

Supposons qu’on déplace un vecteur suivant un certain contour ; dans un espace euclidien et en coordonnées galiléennes, la condition nécessaire et suffisante pour que le vecteur reste de même longueur et parallèle à lui-même pendant le déplacement est ${\frac {\partial \mathrm {A} ^{\mu }}{\partial x_{\nu }}}=0$ ${\bigg (}$ou ${\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}=0{\bigg )}.$ Cette condition étant la forme dégénérée de l’équation tensorielle $\mathrm {A} _{\nu }^{\mu }=0$ (ou $\mathrm {A} _{\mu \nu }=0$), nous dirons que l’annulation de la dérivée covariante d’un quadrivecteur en tout point d’un contour exprime un déplacement « sans variation absolue » (Eddington) ou encore un « déplacement parallèle » (Weyl) le long de ce contour, bien qu’il ne puisse être, dans le cas général, question de « parallélisme » au sens de la géométrie euclidienne.

71. Quelques formules utiles.

1^o Nous avons vu (13-13) que

$g_{\mu \nu }g^{\mu \alpha }=0\,$ ou $\,1\,$ suivant que $\,\nu \neq \alpha \,$ ou que $\,\nu =\alpha \,;$

on a donc

(46-13)

$g^{\mu \alpha }\,dg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\,dg^{\mu \alpha }=0\,;$

d’où l’on déduit

(47-13)

$g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\,dg_{\mu \nu }=-g_{\mu \nu }g^{\nu \beta }\,dg^{\mu \alpha }=-g_{\mu }^{\beta }\,dg^{\mu \alpha }=-dg^{\alpha \beta }.$

On a de même

(48-13)

$dg_{\alpha \beta }=-g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }\,dg^{\mu \nu }.$

2^o Soient $\mathrm {A} ^{\alpha \beta },$ $\mathrm {A} _{\alpha \beta }$ deux tenseurs associés. Multiplions par $\mathrm {A} ^{\alpha \beta }$