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deuxième partie. — la relativité généralisée.

les deux membres de l’équation précédente (48) ; nous obtenons

(49-13)

$\mathrm {A} ^{\alpha \beta }\,dg_{\alpha \beta }=-\mathrm {A} _{\mu \nu }\,dg^{\mu \nu }=-\mathrm {A} _{\alpha \beta }\,dg^{\alpha \beta }.$

3^o $g$ étant le déterminant $|g_{\mu \nu }|,$ $dg$ se forme en prenant la différentielle de chacun des $g_{\mu \nu }$ en la multipliant par le mineur correspondant à $g_{\mu \nu }$ et en faisant la somme algébrique de tous ces produits. Nous pouvons donc écrire

(50-13)

$dg=g\,g^{\mu \nu }\,dg_{\mu \nu }.$

d’où nous tirons

(51-13)

$d(\operatorname {Log} g)=g^{\mu \nu }\,dg_{\mu \nu }=-g_{\mu \nu }\,dg^{\mu \nu }.$

4^o Contractons le symbole de Christoffel de deuxième genre (27-13) :

(52-13)

${\begin{Bmatrix}\mu \rho \\\rho \end{Bmatrix}}={\frac {1}{2}}g^{\rho \varepsilon }\left({\frac {\partial g_{\mu \varepsilon }}{\partial x_{\rho }}}+{\frac {\partial g_{\rho \varepsilon }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \rho }}{\partial x_{\varepsilon }}}\right)={\frac {1}{2}}g^{\rho \varepsilon }{\frac {\partial g_{\rho \varepsilon }}{\partial x_{\mu }}},$

car on peut permuter les indices muets $\rho$ et $\varepsilon$ et l’on voit que les premiers et troisièmes termes des parenthèses disparaissent dans la sommation.

D’après (50-13), cette dernière formule s’écrit

(53-13)

${\begin{Bmatrix}\mu \rho \\\rho \end{Bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{g}}{\frac {\partial g}{\partial x_{\mu }}}={\frac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\mu }}}\cdot$

72. Divergence d’un tenseur.

Dans la théorie habituelle des vecteurs d’espace, on appelle « divergence » le scalaire

${\frac {\partial \mathrm {A} _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {A} _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {A} _{z}}{\partial z}}\,;$

nous pouvons la représenter, dans notre notation, par

${\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\mu }}}\cdot$

1^o Quadrivecteur contrevariant. — La généralisation s’impose ; il faut considérer la dérivée covariante et prendre le scalaire $\mathrm {A} _{\mu }^{\mu }.$ Nous appellerons donc divergence la dérivée covariante contractée.