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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

la masse de ce point ; elle ne dépend que des variations des $g_{\mu \nu }$ (et des conditions initiales).

Les ${\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}$ qui disparaissent dans le cas du mouvement de translation uniforme déterminent l’écart au mouvement rectiligne et uniforme. Einstein les a appelées « composantes du champ de gravitation ». Ce sont bien en effet des « forces » comme nous le montrerons bientôt.

79. Extension des équations de Lagrange.

Choisissons les coordonnées de manière que $\left({\sqrt {-g}}=1\right).$ Le tenseur de Riemann-Christoffel contracté s’écrit

(16-14)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }\equiv -{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \\\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\mu \beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\nu \alpha \\\beta \\\end{Bmatrix}}\cdot$

Nous pouvons considérer $g^{\mu \nu }$ comme une coordonnée généralisée $q$ et $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},$ $x_{4}$ comme quatre variables indépendantes qui vont jouer le rôle que joue le temps dans les équations de Lagrange en mécanique ordinaire. La « vitesse généralisée » sera

${\dot {q}}=g_{\alpha }^{\mu \nu }={\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }}}\qquad$ ($g_{\alpha }^{\mu \nu }$ n’est pas un tenseur).

Nous allons montrer que $\mathrm {R} _{\mu \nu }$ s’écrit sous une forme semblable à celle des équations de Lagrange

(17-14)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }={\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left({\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)-{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial g^{\mu \nu }}}$

en posant

(18-14)

$\mathrm {L} =g^{mn}{\begin{Bmatrix}m\beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}n\alpha \\\beta \\\end{Bmatrix}}\cdot$

Calculons, en effet, la variation de $\mathrm {L} .$ Nous avons

(19-14)

$\delta \mathrm {L} ={\begin{Bmatrix}m\beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}n\alpha \\\beta \\\end{Bmatrix}}\,\delta g^{mn}+2g^{mn}{\begin{Bmatrix}m\beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}\,\delta {\begin{Bmatrix}n\alpha \\\beta \\\end{Bmatrix}}$

puisque dans le dernier terme, $m$ et $n$ sont les indices muets. Nous pouvons écrire encore

(20-14)

$\;\delta \mathrm {L} =-{\begin{Bmatrix}m\beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}n\alpha \\\beta \\\end{Bmatrix}}\,\delta g^{mn}+2{\begin{Bmatrix}m\beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}\,\delta \!\left(g^{mn}{\begin{Bmatrix}n\alpha \\\beta \\\end{Bmatrix}}\right).$