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deuxième partie. — la relativité généralisée.
Soit le vecteur contrevariant Sa dérivée covariante est
donnée par (37-13)
Multiplions par nous obtenons
(14-14)
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Puisque le premier membre est un tenseur, il en est de même
du second membre, et si ce tenseur s’annule dans un système de
coordonnées, il s’annule dans tous les autres systèmes.
Supposons un Univers euclidien et prenons des coordonnées
galiléennes. Les étant constants, et, d’autre part,
donne les équations d’une géodésique, car pour une
« droite d’Univers » les coefficients de direction sont constants.
Par conséquent, le tenseur formant le second membre de
(14-14) est nul en coordonnées galiléennes et par suite nul quel
que soit le système de coordonnées pour tous les points d’une
géodésique.
Nous voyons donc que les équations
(15-14)
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4 équations pour 1, 2, 3, 4.
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Dans chaque équation sommation par rapport à et sommation par rapport à
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sont les équations générales d’une géodésique, c’est-à-dire les
équations de la trajectoire du point matériel libre dans un système
de coordonnées quelconque, si l’Univers est euclidien.
Mais ces équations ne font intervenir que les dérivées premières
des Elles restent donc exactes dans un champ de gravitation
permanent (principe d’équivalence, no 77). Ce sont les
équations fondamentales du mouvement du point libre dans un
Univers quelconque, euclidien ou non. Elles sont covariantes pour
toute transformation.
La ligne d’Univers d’un point matériel libre ne dépend pas de