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deuxième partie. — la relativité généralisée.

Soit $\mathrm {A} ^{\sigma }$ le vecteur contrevariant ${\frac {\partial x_{\sigma }}{ds}}\cdot$ Sa dérivée covariante est donnée par (37-13)

$\mathrm {A} _{\alpha }^{\sigma }={\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left({\frac {dx_{\sigma }}{ds}}\right)+{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}\cdot$

Multiplions par $\mathrm {A} ^{\alpha }={\frac {\partial x_{\alpha }}{ds}},$ nous obtenons

(14-14)

$\mathrm {A} ^{\alpha }\mathrm {A} _{\alpha }^{\sigma }={\frac {d^{2}x_{\sigma }}{ds^{2}}}+{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}\cdot$

Puisque le premier membre est un tenseur, il en est de même du second membre, et si ce tenseur s’annule dans un système de coordonnées, il s’annule dans tous les autres systèmes.

Supposons un Univers euclidien et prenons des coordonnées galiléennes. Les $g_{\mu \nu }$ étant constants, ${\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}=0,$ et, d’autre part, ${\frac {d^{2}x_{\sigma }}{ds^{2}}}=0$ donne les équations d’une géodésique, car pour une « droite d’Univers » les coefficients de direction ${\frac {dx_{\sigma }}{ds}}=0$ sont constants. Par conséquent, le tenseur formant le second membre de (14-14) est nul en coordonnées galiléennes et par suite nul quel que soit le système de coordonnées pour tous les points d’une géodésique.

Nous voyons donc que les équations

(15-14)

${\frac {d^{2}x_{\sigma }}{ds^{2}}}+{\begin{Bmatrix}\!\alpha \beta \!\\\sigma \end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}=0.$

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

4 équations pour $\sigma =$ 1, 2, 3, 4.

Dans chaque équation sommation par rapport à $\alpha$ et sommation par rapport à $\beta .$

sont les équations générales d’une géodésique, c’est-à-dire les équations de la trajectoire du point matériel libre dans un système de coordonnées quelconque, si l’Univers est euclidien.

Mais ces équations ne font intervenir que les dérivées premières des $g_{\mu \nu }.$ Elles restent donc exactes dans un champ de gravitation permanent (principe d’équivalence, n^o 77). Ce sont les équations fondamentales du mouvement du point libre dans un Univers quelconque, euclidien ou non. Elles sont covariantes pour toute transformation.

La ligne d’Univers d’un point matériel libre ne dépend pas de