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deuxième partie. — la relativité généralisée.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Nous avons d’ailleurs

(21-14)

$\;\delta \!\left(g^{mn}{\begin{Bmatrix}n\alpha \\\beta \\\end{Bmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}\delta \!\left[g^{mn}g^{\beta \lambda }\left({\frac {\partial g_{n\lambda }}{\partial x_{\alpha }}}+{\frac {\partial g_{\alpha \lambda }}{\partial x_{n}}}-{\frac {\partial g_{\alpha n}}{\partial x_{\lambda }}}\right)\right],$

expression qui se simplifie beaucoup : d’abord les deux derniers termes de la parenthèse disparaissent après multiplication par ${\begin{Bmatrix}m\beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}},$ car $m$ et $\beta ,$ $n$ et $\lambda$ sont simultanément interchangeables. D’autre part, on a, d’après (47-13),

(22-14)

$g^{mn}g^{\beta \lambda }{\frac {\partial g_{n\lambda }}{\partial x_{\alpha }}}=-{\frac {\partial g^{m\beta }}{\partial x_{\alpha }}}\cdot$

On a donc finalement

(23-14)

$\delta \mathrm {L} =-{\begin{Bmatrix}m\beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}n\alpha \\\beta \\\end{Bmatrix}}\,\delta g^{mn}-{\begin{Bmatrix}m\beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}\,\delta g_{\alpha }^{m\beta }$

et par suite

(24-14)	${\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}=-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \\\end{Bmatrix}},$
(25-14)	${\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial g^{\mu \nu }}}=-{\begin{Bmatrix}\mu \beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\nu \alpha \\\beta \\\end{Bmatrix}},$

ce qui démontre la formule (17-14).

La loi de la gravitation dans le vide s’exprimant par $\mathrm {R} _{\mu \nu }=0,$ les équations

(26-14)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }={\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left({\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial {\dot {q}}}}\right)-{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial {\dot {q}}}}\qquad \left(q=g^{\mu \nu },\;{\dot {q}}=g_{\alpha }^{\mu \nu }\right)$

sont, comme en dynamique classique, équivalentes à

(27-14)

$\int \mathrm {L} \,d\omega \;$ stationnaire $\qquad \left(d\omega =dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}\,dx_{4}\right)$

pour les variations des $g^{\mu \nu }$ de leurs dérivées $g_{\,\alpha }^{\mu \nu }$. Il faut noter que cette équation est soumise à la restriction ${\sqrt {-g}}=1$^[1].

80. Énergie du champ de gravitation.

Conservons encore des coordonnées telles que ${\sqrt {-g}}=1$ et mul-

1. On peut, par des calculs un peu plus longs (voir Eddington, Espace,