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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

de volume, divisée par $c^{2}$), c’est-à-dire telles que $t_{\mu }^{\sigma }$ soit homogène à $\mathrm {T} _{\mu }^{\sigma },$ nous sommes logiquement conduits à ajouter les composantes du tenseur matériel aux composantes de l’énergie de gravitation. Nous remplaçons donc $t_{\mu }^{\sigma }$ par $t_{\mu }^{\sigma }+\mathrm {T} _{\mu }^{\sigma },$ et $t$ par $t+\mathrm {T}$ $\left(\mathrm {T} =\mathrm {T} _{\mu }^{\mu }=\rho _{0}\right).$

Nous obtenons ainsi, pour la loi de gravitation dans la matière (supposée continue), l’équation

(47-14)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left(g^{\sigma \beta }{\begin{Bmatrix}\mu \beta \\\alpha \end{Bmatrix}}\right)=\varkappa \left[\left(t_{\mu }^{\sigma }+\mathrm {T} _{\mu }^{\sigma }\right)-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\sigma }\left(t+\mathrm {T} \right)\right],$

${\sqrt {-g}}=1.$

qui s’écrit, après quelques transformations, d’après (16-14) et (36-14),

(48-14)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$g^{\nu \sigma }\mathrm {R} _{\mu \nu }$

$=-\varkappa \left(\mathrm {T} _{\mu }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\sigma }\mathrm {T} \right)$

ou

$\mathrm {R} _{\mu }^{\sigma }$

$=-\varkappa \left(\mathrm {T} _{\mu }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\sigma }\mathrm {T} \right)$

ou encore

(49-14)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }=-\varkappa \left(\mathrm {T} _{\mu \nu }-{\dfrac {1}{2}}g_{\mu \nu }\mathrm {T} \right)$

C’est la loi cherchée, qui remplace l’équation de Poisson.

Dans les équations (48) et (49) la restriction ${\sqrt {-g}}=1$ est levée : ce sont des équations covariantes, qui sont exactes dans tous les systèmes de coordonnées imaginables si elles sont vraies dans un système particulier.

La loi de la gravitation peut s’écrire sous d’autres formes en introduisant la courbure $\mathrm {R} =g^{\mu \nu }\mathrm {R} _{\mu \nu }.$ Multiplions (49) par $g^{\mu \nu },$ il vient d’abord

$g^{\mu \nu }\mathrm {R} _{\mu \nu }=-\varkappa \left(g^{\mu \nu }\mathrm {T} _{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }\mathrm {T} \right)$

ou

(50-14)

$\mathrm {R} =\varkappa \mathrm {T} =\varkappa \rho _{0}$

car

$g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }=4\qquad$ et $\qquad g^{\mu \nu }\mathrm {T} _{\mu \nu }=\mathrm {T} .$

Remplaçant maintenant $\varkappa \mathrm {T}$ par $\mathrm {R}$ dans (50), nous obtenons la