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deuxième partie. — la relativité généralisée.

nouvelle forme

(51-14)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\mathrm {R} =-\varkappa \mathrm {T} _{\mu \nu }$

Enfin, une dernière forme est la suivante. Remplaçons dans l’équation précédente $\nu$ par $\tau$ et multiplions par $g^{\tau \nu },$ il vient

(52-14)

$\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R} =-\varkappa \mathrm {T} _{\mu }^{\nu }$

L’introduction, telle qu’elle vient d’être faite, du tenseur matériel, n’est pas exigée par le principe de la relativité seul ; nous avons admis, en outre, que l’énergie du champ de gravitation et l’énergie matérielle ont même action gravifique. Nous allons maintenant donner la meilleure justification de la loi d’Einstein en montrant qu’elle implique la conservation de l’impulsion et de l’énergie.

83. La conservation de l’impulsion et de l’énergie.

La loi d’Einstein, sous la forme (52-14), exprime l’égalité du tenseur mixte impulsion-énergie (multiplié par $-\varkappa$) et du « tenseur d’Univers conservatif » $\left(\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R} \right).$ La loi d’Einstein entraîne donc, par application du théorème fondamental de la Mécanique (n^o 76), la permanence du tenseur matériel, c’est-à-dire la loi de conservation de l’impulsion — énergie sous la forme la plus générale

(53-14)

$\mathrm {T} _{\mu \nu }^{\nu }=0.$

Pour mieux comprendre que cette équation exprime la conservation, nous allons la présenter sous une autre forme. Écrivons l’expression de la divergence de $\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }\,;$ le tenseur $\mathrm {T} ^{\mu \nu }$ étant symétrique, nous avons, d’après (57-13), (59-13),

${\mathfrak {T}}_{\mu \nu }^{\nu }={\frac {\partial {\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\mu }}}{\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }\qquad$ (${\mathfrak {T}}$ densité tensorielle)

ou

$\mathrm {T} _{\mu \nu }^{\nu }={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left({\sqrt {-g}}\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\mu }}}\mathrm {T} _{\alpha \beta }.$