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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

conservation ${\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}=0,$ formes dégénérées de $\mathrm {T} _{\mu \nu }^{\nu }=0.$

Quand il y a un champ de force, nous savons (Mécanique ordinaire) qu’on introduit les composantes de la force sur l’unité de volume $\rho \mathrm {F} _{x_{1}},$ $\rho \mathrm {F} _{x_{2}},$ $\rho \mathrm {F} _{x_{3}}\,;$ les équations prennent la forme

(62-14)

${\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}=-\left({\frac {\rho }{c^{2}}}\mathrm {F} _{x_{1}},\,{\frac {\rho }{c^{2}}}\mathrm {F} _{x_{2}},\,{\frac {\rho }{c^{2}}}\mathrm {F} _{x_{3}},\,0\right).$

Les coordonnées ne sont plus rigoureusement des coordonnées galiléennes car il n’y a plus de coordonnées galiléennes dans un champ de force, mais c’est un fait dont on ne tient pas compte dans la Mécanique classique.

85. Les forces.

Écrivons l’expression de la divergence de $\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }:$

$\mathrm {T} _{\mu \nu }^{\nu }={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left({\sqrt {-g}}\,\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }\right)-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \end{Bmatrix}}\mathrm {T} _{\alpha }^{\nu }.$

La loi de conservation est

(63-14)

${\frac {\partial {\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}={\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \end{Bmatrix}}{\mathfrak {T}}_{\alpha }^{\nu },$

et dans le cas particulier où les coordonnées sont choisies de manière que ${\sqrt {-g}}=1,$

(64-14)

${\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}={\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \end{Bmatrix}}\mathrm {T} _{\alpha }^{\nu }.$

Sous cette forme, la loi de conservation constitue l’expression de la loi d’impulsion et d’énergie pour la matière : le second membre (qui disparaît quand les $g_{\mu \nu }$ sont constants, c’est-à-dire quand le champ de force est nul) représente l’influence énergétique de la gravitation sur la matière, c’est-à-dire détermine l’impulsion et l’énergie communiquées à la matière par le champ de force (champ de gravitation permanent ou champ de gravitation géométrique).