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deuxième partie. — la relativité généralisée.

sément la tension interne $p_{\mathrm {X} _{\alpha }\mathrm {X} _{\beta }}.$ Ainsi, il faut ajouter au tenseur (45-14) un tenseur d’espace à neuf composantes (le tenseur de la théorie de l’élasticité), ayant pour éléments les tensions internes. Nous obtenons

(59-14)

$\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }=\!$

${\begin{alignedat}{7}&-{\frac {1}{c^{2}}}\left(p_{\mathrm {X} _{1}\mathrm {X} _{1}}\!\!+\!\rho v_{\mathrm {X} _{1}}^{2}\right)&&-{\frac {1}{c^{2}}}\left(p_{\mathrm {X} _{1}\mathrm {X} _{2}}\!\!+\!\rho v_{\mathrm {X} _{1}}v_{\mathrm {X} _{2}}\right)&\;&-{\frac {1}{c^{2}}}\left(p_{\mathrm {X} _{1}\mathrm {X} _{3}}\!\!+\!\rho v_{\mathrm {X} _{1}}v_{\mathrm {X} _{3}}\right)\dots \\&-{\frac {1}{c^{2}}}\left(p_{\mathrm {X} _{2}\mathrm {X} _{1}}\!\!+\!\rho v_{\mathrm {X} _{2}}v_{\mathrm {X} _{1}}\right)&\;&-{\frac {1}{c^{2}}}\left(p_{\mathrm {X} _{2}\mathrm {X} _{2}}\!\!+\!\rho v_{\mathrm {X} _{2}}^{2}\right)&&-{\frac {1}{c^{2}}}\left(p_{\mathrm {X} _{2}\mathrm {X} _{3}}\!\!+\!\rho v_{\mathrm {X} _{2}}v_{\mathrm {X} _{3}}\right)\dots \\&-{\frac {1}{c^{2}}}\left(p_{\mathrm {X} _{3}\mathrm {X} _{1}}\!\!+\!\rho v_{\mathrm {X} _{3}}v_{\mathrm {X} _{1}}\right)&&-{\frac {1}{c^{2}}}\left(p_{\mathrm {X} _{3}\mathrm {X} _{2}}\!\!+\!\rho v_{\mathrm {X} _{3}}v_{\mathrm {X} _{2}}\right)&&-{\frac {1}{c^{2}}}\left(p_{\mathrm {X} _{3}\mathrm {X} _{3}}\!\!+\!\rho v_{\mathrm {X} _{3}}^{2}\right)\quad \dots \\&\;\quad {\frac {1}{c}}\rho \,v_{\mathrm {X} _{1}}&&\;\quad {\frac {1}{c}}\rho \,v_{\mathrm {X} _{2}}&&\;\quad {\frac {1}{c}}\rho \,v_{\mathrm {X} _{3}}&\end{alignedat}}$

En coordonnées galiléennes (ce qui suppose l’absence de champ de force), les quatre équations de conservation s’écrivent

${\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}=0\qquad \left(\mu =1,\,2,\,3,\,4\right).$

Faisons d’abord $\mu =4,$ nous obtenons l’équation de continuité bien connue

(60-14)

${\frac {\partial (\rho \,v_{\mathrm {X} _{1}})}{\partial \mathrm {X} _{1}}}+{\frac {\partial (\rho \,v_{\mathrm {X} _{2}})}{\partial \mathrm {X} _{2}}}+{\frac {\partial (\rho \,v_{\mathrm {X} _{3}})}{\partial \mathrm {X} _{3}}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.$

Prenant $\mu =1,\,2,\,3,$ nous obtenons les trois autres équations ; faisons par exemple $\mu =1,$ nous avons

${\begin{aligned}-&\left({\frac {\partial p_{\mathrm {X} _{1}\mathrm {X} _{1}}}{\partial \mathrm {X} _{1}}}+{\frac {\partial p_{\mathrm {X} _{1}\mathrm {X} _{2}}}{\partial \mathrm {X} _{2}}}+{\frac {\partial p_{\mathrm {X} _{1}\mathrm {X} _{3}}}{\partial \mathrm {X} _{3}}}\right)\\&={\frac {\partial \left(\rho \,v_{\mathrm {X} _{1}}^{2}\right)}{\partial \mathrm {X} _{1}}}+{\frac {\partial \left(\rho \,v_{\mathrm {X} _{1}\mathrm {X} _{2}}\right)}{\partial \mathrm {X} _{2}}}+{\frac {\partial \left(\rho \,v_{\mathrm {X} _{1}\mathrm {X} _{3}}\right)}{\partial \mathrm {X} _{3}}}+{\frac {\partial \left(\rho \,v_{\mathrm {X} _{1}}\right)}{\partial t}}\end{aligned}}$

ou, en tenant compte de l’équation précédente,

(61-14)

${\begin{aligned}-&\left({\frac {\partial p_{\mathrm {X} _{1}\mathrm {X} _{1}}}{\partial \mathrm {X} _{1}}}\!+{\frac {\partial p_{\mathrm {X} _{1}\mathrm {X} _{2}}}{\partial \mathrm {X} _{2}}}\!+{\frac {\partial p_{\mathrm {X} _{1}\mathrm {X} _{3}}}{\partial \mathrm {X} _{3}}}\right)\\&=\rho \left(\!v_{\mathrm {X} _{1}}{\frac {\partial v_{\mathrm {X} _{1}}}{\partial \mathrm {X} _{1}}}\!+v_{\mathrm {X} _{2}}{\frac {\partial v_{\mathrm {X} _{1}}}{\partial \mathrm {X} _{2}}}\!+v_{\mathrm {X} _{3}}{\frac {\partial v_{\mathrm {X} _{1}}}{\partial \mathrm {X} _{3}}}\!+{\frac {\partial v_{\mathrm {X} _{1}}}{\partial t\!}}\right)=\rho {\frac {\mathrm {D} v_{\mathrm {X} _{1}}}{\mathrm {D} t}},\end{aligned}}$

où ${\frac {\mathrm {D} v_{\mathrm {X} _{1}}}{\mathrm {D} t}}$ est l’accélération de la matière.

Nous trouvons donc les équations du mouvement d’un fluide, le champ de force étant nul. Les équations de l’hydrodynamique