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deuxième partie. — la relativité généralisée.

Ces équations imposent quatre conditions (pour $\mu =$ 1, 2, 3, 4) que le tenseur matériel doit satisfaire.

Ce sont les équations de l’hydrodynamique dans un champ de force et pour les milieux dépourvus de frottement.

En pratique, la vitesse de la matière est toujours très petite par rapport à la vitesse de la lumière, et nous pouvons faire une approximation. Nous pouvons prendre des coordonnées très peu différentes de coordonnées galiléennes, et admettre que le tenseur matériel se réduit à $\mathrm {T} _{4}^{4},$ cette composante étant considérablement plus grande que les autres composantes de $\mathrm {T} _{\alpha }^{\nu }\,;$ nous écrivons donc approximativement :

(65-14)

${\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}={\begin{Bmatrix}\mu 4\\4\end{Bmatrix}}\mathrm {T} _{4}^{4}={\begin{Bmatrix}\mu 4\\4\end{Bmatrix}}\rho .$

c’est l’approximation faite en Mécanique ordinaire.

Nous avons déjà appelé « composantes du champ » (n^o 78) les grandeurs représentées par les symboles ${\begin{Bmatrix}\,\end{Bmatrix}}$ de Christoffel. Comparant (65-14) aux équations habituelles de l’hydrodynamique dans un champ de force (62-14), nous voyons bien que ces symboles représentent des forces (divisées par $c^{2}$)

${\begin{Bmatrix}14\\4\end{Bmatrix}},\;{\begin{Bmatrix}24\\4\end{Bmatrix}},\;{\begin{Bmatrix}34\\4\end{Bmatrix}}=-{\frac {1}{c^{2}}}\mathrm {F} _{x_{1}},\;-{\frac {1}{c^{2}}}\mathrm {F} _{x_{2}},\;-{\frac {1}{c^{2}}}\mathrm {F} _{x_{3}}.$

Ces trois symboles (multipliés par $-c^{2}$) sont les composantes de la force principale, la force d’inertie de la Mécanique, la seule qu’on envisage en Mécanique classique, qui produit sur la matière une action proportionnelle à la masse, c’est-à-dire proportionnelle à l’énergie ; la Mécanique newtonienne néglige les autres « forces » qui sont liées aux autres composantes du tenseur $\mathrm {T} _{\mu }^{\nu },$ c’est-à-dire à la quantité de mouvement et aux tensions.

Les équations habituelles de l’hydrodynamique (dans un champ de force) ne constituent donc qu’une approximation, d’ailleurs excellente.

Écrivons maintenant la divergence de $\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }$ sous la forme (56-13), avec ${\sqrt {-g}}=1,$ nous obtenons

(66-14)

${\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}={\frac {1}{2}}\mathrm {T} ^{\alpha \beta }{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x_{\mu }}}={\frac {1}{2}}\rho {\frac {\partial g_{44}}{\partial x_{\mu }}}\quad$ approximativement.