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deuxième partie. — la relativité généralisée.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

valeurs galiléennes (69-14) ; nous négligerons les quantités de l’ordre du carré des différences ; nous supposerons que les $g_{\mu \nu }$ tendent vers les valeurs galiléennes à mesure qu’on s’éloigne de toute matière, c’est-à-dire qu’on adopte un système de référence galiléen à l’infini.

Les vitesses de la matière étant toujours, dans la réalité, très petites par rapport à $c,$ les composantes d’espace ${\frac {dx_{1}}{ds}},$ ${\frac {dx_{2}}{ds}},$ ${\frac {dx_{3}}{ds}}$ du quadrivecteur du mouvement sont toujours très petites par rapport à la composante de temps ${\frac {dx_{4}}{ds}}\,;$ cette dernière peut être prise égale à 1, aux quantités du second ordre près.

Les forces ${\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}$ sont très petites, ce sont des grandeurs du premier ordre au moins.

Soient alors les équations d’une géodésique (15-14)

${\frac {d^{2}x_{\sigma }}{ds^{2}}}=-{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}\cdot$

Nous pouvons nous contenter de considérer les termes pour lesquels $\alpha =\beta =4,$ et nous pouvons remplacer $ds$ par $dx_{4},$ les $g_{\sigma \tau }$ par les valeurs galiléennes. Nous obtenons ainsi

${\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {d^{2}x_{\sigma }}{dt^{2}}}&={\begin{bmatrix}44\\\sigma \\\end{bmatrix}}\\{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {d^{2}x_{4}}{dt^{2}}}&=-{\begin{bmatrix}44\\4\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

$\quad (\sigma =1,2,3)$.

Lorsque le champ de gravitation est quasi statique, c’est-à-dire lorsqu’on n’envisage que le cas où la matière, source du champ de gravitation, n’est animée (dans le système de référence employé) que d’une vitesse très petite par rapport à la vitesse de la lumière, on peut négliger les dérivées des $g_{\mu \nu }$ par rapport à $x_{4},$ vis-à-vis des dérivées par rapport aux coordonnées d’espace, et l’on obtient simplement

(70-14)

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {d^{2}x_{\sigma }}{dt^{2}}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {dg_{44}}{dx_{\sigma }}}\quad (\sigma =1,2,3)$.

Ce sont bien les équations de la trajectoire du point libre en Mécanique classique, à condition d’identifier, à une constante près, ${\frac {c^{2}}{2\,}}g_{44}$ avec le potentiel du champ de gravitation. On a donc,