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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

Nous voyons que

(67-14)

$\mathrm {F} _{x_{1}},\;\mathrm {F} _{x_{2}},\;\mathrm {F} _{x_{3}}=-{\frac {c^{2}}{2}}{\frac {\partial g_{44}}{\partial x_{1}}},\;-{\frac {c^{2}}{2}}{\frac {\partial g_{44}}{\partial x_{2}}},\;-{\frac {c^{2}}{2}}{\frac {\partial g_{44}}{\partial x_{3}}}\cdot$

Si $\mathrm {F} _{x_{1}},$ $\mathrm {F} _{x_{2}},$ $\mathrm {F} _{x_{3}}$ dérivent d’un potentiel $\Omega$ (au sens de la Mécanique classique), la solution de (67-14) est

$\Omega ={\frac {c^{2}}{2}}g_{44}+$ const.,

et si $\Omega =0$ à l’infini, et $g_{11}=1,$,

(68-14)

$g_{44}=1+{\frac {2\Omega }{c^{2}}}\cdot$

Nous avions déjà remarqué cette relation au n^o 60, dans la transformation de coordonnées relative à un système tournant (champ de force centrifuge). Il est à noter que si les forces ${\begin{Bmatrix}\mu 4\\4\\\end{Bmatrix}}$ sont les forces principales dans un champ de gravitation permanent et en coordonnées presque galiléennes, il peut en être autrement pour un champ de force purement géométrique dans un univers euclidien. Ainsi, dans un système de rotation (n^o 60), les ${\begin{Bmatrix}\mu 4\\4\\\end{Bmatrix}}$ sont nuls ; si $\omega c$ est la vitesse angulaire, les forces sont déterminées par

${\begin{Bmatrix}14\\2\end{Bmatrix}}=\omega ,$	${\begin{Bmatrix}24\\1\end{Bmatrix}}=-\omega$	(force de Coriolis),
${\begin{Bmatrix}44\\1\end{Bmatrix}}=-\omega ^{2}x_{1},\qquad$	${\begin{Bmatrix}44\\2\end{Bmatrix}}=-\omega ^{2}x_{2}\qquad$	(force centrifuge).

86. Les équations du mouvement du point matériel, en Mécanique classique, déduites, en première approximation, des équations de la géodésique^[1].

Dans un Univers supposé euclidien, on peut choisir des coordonnées galiléennes de manière à avoir

(69-14)

$g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1\quad g_{44}=1,\quad$ $g_{\mu \nu }=0$ si $\mu \neq \nu ,$

c’est la suppression totale du champ de force.

Dans la réalité, à distance finie de la matière, il y a toujours un champ de gravitation permanent, mais l’Univers est très peu déformé. Nous savons, de plus, qu’au champ de gravitation permanent peut se superposer un champ de gravitation « géométrique » qui n’est autre que la manifestation de l’état de mouvement du système de référence. Le champ de gravitation permanent disparaît à distance infinie de toute matière et le champ de gravitation géométrique est nul si l’on adopte un système de référence dans lequel les coordonnées deviennent galiléennes à l’infini.

Nous allons considérer le cas où les $g_{\mu \nu }$ diffèrent très peu des

1. A. Einstein, Ann. d. Physik, t. XLVI, 1916.