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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.
des coordonnées galiléennes, l’équation de propagation généralisée
![{\displaystyle g^{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}h_{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a82bb147899aec967d0bb0abfc625c350159d0)
est satisfaite au degré d’approximation admis.
Dans une région contenant de la matière, les équations de l’hydrodynamique
qui expriment la conservation de l’impulsion-énergie
de la matière seule ne seraient exactes qu’en l’absence
de tout champ de force, mais nous savons par expérience qu’elles
sont pratiquement valables si le champ de gravitation est très faible
et avec les coordonnées quasi galiléennes habituellement employées
en Mécanique. L’équation (81-14) est alors valable avec notre
degré d’approximation.
Supposons un champ statique, c’est-à-dire dans lequel les dérivées
sont nulles ; l’équation (81-14) se réduit, toujours au
même degré d’approximation, à
![{\displaystyle -\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{3}^{2}}}\right)h_{\mu \nu }=2\mathrm {R} _{\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7d8fa8ebf3500f9221c744e9cdde7c3f2dfafb)
ou
![{\displaystyle \Delta h_{\mu \nu }=-2\mathrm {R} _{\mu \nu }=2\varkappa \left(\mathrm {T} _{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\mathrm {T} \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaaa0c00bb8ba1513ec57ea9437e87918de7555c)
On a, de plus, pour la matière au repos,
les
autres composantes
sont nulles ; on obtient par conséquent,
![{\displaystyle \Delta h_{\mu \nu }=0\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baf47c38d6de579a085bd0aafc2fc8738e1f3ba5)
si
![{\displaystyle \qquad \mu \neq \nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4f1e7689181f6e6fec93f12f463231a7591081)
et
![{\displaystyle \Delta h_{11}=\Delta h_{22}=\Delta h_{33}=\Delta h_{44}=\varkappa \rho _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cb44dcb8c036a84d37d80dfb4583a3668c2d3c7)
c’est une généralisation de l’équation de Poisson, la solution est
![{\displaystyle h_{\mu \nu }=0\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c03444e9ac1ed098f3fa7f517e8efbd42d594f3)
si
![{\displaystyle \qquad \mu \neq \nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4f1e7689181f6e6fec93f12f463231a7591081)
![{\displaystyle h_{11}=h_{22}=h_{33}=h_{44}=-{\frac {\varkappa }{4\pi }}\iiint {\frac {\rho _{0}\,d\mathrm {V} }{r}}=-{\frac {2\mathrm {G} }{c^{2}}}\iiint {\frac {\rho _{0}\,d\mathrm {V} }{r}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f056dc62b690df972436e25894c966475bc9a5)
L’intervalle élémentaire s’écrit donc, dans le cas d’une particule
unique de masse ![{\displaystyle \mathrm {M} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02367197b2d74f95eb9965ab69943fd937ca165)
(83-14)
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