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deuxième partie. — la relativité généralisée.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

à l’infini, il devient

$ds^{2}=-dx_{1}^{2}-dx_{2}^{2}-dx_{3}^{2}+dx_{4}^{2},$

ce qui montre que les coordonnées employées deviennent galiléennes à l’infini.

L’interprétation physique des résultats qui précédent est donc la suivante. Si l’observateur considère que l’Univers est quasi euclidien, c’est-à-dire euclidien mais légèrement déformé par le voisinage de matière ; s’il prend, comme dans la Mécanique céleste habituelle, des coordonnées qu’il considère comme galiléennes, c’est-à-dire des coordonnées aussi voisines que possibles des coordonnées galiléennes et devenant galiléennes à l’infini ; s’il considère enfin des petites variations du champ de gravitation, produites par de la matière animée, dans le système de référence, de vitesses petites par rapport à la vitesse de la lumière, les déformations du champ de gravitation dans le vide obéissent très approximativement à l’équation

$g^{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}h_{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}=0$

qui peut s’écrire

$\square \,h_{\mu \nu }=\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)h_{\mu \nu }=0.$

Au même degré d’approximation que l’équation de Poisson, c’est-à-dire que la loi de Newton, et même avec une approximation un peu plus grande représentée, dans le cas d’un champ statique, par l’équation (83-14) résultant de la généralisation de l’équation de Poisson^[1], les perturbations gravifiques apparaissent à l’observateur comme se propageant avec la vitesse de la lumière.

1. Avec l’approximation de la loi de Newton, il ne subsiste que $h_{44}$ de sorte que l’intervalle élémentaire s’écrit
   $ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+\left(1-{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r}}\right)c^{2}dt^{2},$

   l’espace envisagé seul ($dt=0$) est considéré comme euclidien.

   Nous établirons, au Chapitre suivant, que l’expression exacte de $ds^{2},$ dans le champ d’une particule, est, en coordonnées polaires,

   $ds^{2}=-\left(1-{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}+\left(1-{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r}}\right)c^{2}dt^{2}\,;$

   remplaçant, dans les trois premiers termes, $r$ par $r+{\frac {\mathrm {GM} }{c^{2}}}$ et négligeant ${\frac {\mathrm {G^{2}M^{2}} }{c^{2}r^{2}}},$