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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

Pratiquement, si nous considérons une distribution arbitraire de matière se mouvant, avec une vitesse faible par rapport à la vitesse de la lumière (ce qui est toujours le cas), on peut écrire, en désignant par $\Omega$ le potentiel au sens de la Mécanique ancienne,

$-\square \,\Omega =\Delta \Omega -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Omega ^{2}}{\partial t^{2}}}=4\pi \rho \mathrm {G} \,;$

cette équation a pour solution

$\Omega _{t}=-\mathrm {G} \iiint {\frac {\rho _{t'}\,d\mathrm {V} _{t'}}{r_{t'}}}\cdot$

Les effets de gravitation obéissent à la loi des potentiels retardés. $\Omega _{t}$ est, à l’instant $t,$ le potentiel en un point qui, à l’époque

$t'=t-{\frac {r_{t'}}{c}},$

était situé à la distance $r_{t'}$ de l’élément matériel dont la densité était $\rho _{t'}$ et dont le volume était $d\mathrm {V} _{t}$.

Le temps $t'$ dépend de l’élément de volume considéré. Le domaine d’intégration, c’est-à-dire le domaine dans lequel $\rho _{t'}\neq 0$ ne coïncide pas avec l’espace occupé à un instant déterminé par les corps sources du champ de gravitation.

Le fait que le potentiel de gravitation satisfait à l’équation des potentiels retardés explique, comme dans le cas des actions électriques, l’apparence des actions de gravitation centrales et instantanées.

90. Remarques sur la loi de la gravitation.

La loi de la gravitation dans le vide, $\mathrm {R} _{\mu \nu }=0,$ constitue, comme nous l’avons déjà dit, une restriction considérable imposée aux géométries de l’Espace-Temps. Par contre, dans la matière, sup-

nous obtenons

${\begin{aligned}ds^{2}&=-\left(\!1-{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r}}\!\right)(dr^{2}\!+r^{2}d\theta ^{2}\!+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2})+\left(\!1-{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r}}\!\right)c^{2}dt^{2}\\&=-\left(1+{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r}}\right)(dx^{2}\!+dy^{2}\!+dz^{2})+\left(\!1-{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r}}\!\right)c^{2}\,dt^{2},\end{aligned}}$

ce qui est précisément l’expression approchée (83-14).