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deuxième partie. — la relativité généralisée.

plus exacte, mais nous pouvons tenter de mettre $ds^{2}$ sous une forme analogue, qui se réduise à (84) à une distance infinie de la particule, puisqu’à l’infini le champ de gravitation doit disparaître.

Nous allons essayer une solution de la forme

(85-14)

\left\{{\begin{array}{c}ds^{2}=-e^{\lambda }\,dr^{2}-e^{\mu }\left(r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2}\right)+e^{\nu }\,dx_{4}^{2}\\\left(dx_{4}=c\,dt\right),\end{array}}\right.

$r,$ $\theta ,$ $\varphi ,$ $x_{4}$ sont quatre variables dont nous préciserons plus tard la signification ; $\lambda ,$ $\mu ,$ $\nu ,$ sont des fonctions de $r$ et non de $\theta ,$ $\varphi ,$ $t,$ elles doivent s’annuler à l’infini ; nous allons voir si nous pouvons déterminer $\lambda ,$ $\mu ,$ $\nu$ de manière que la loi d’Einstein $\mathrm {R} _{\sigma \tau }=0$ soit satisfaite : si nous réussissons, nous aurons obtenu une solution du problème et c’est seulement alors que nous pourrons donner l’interprétation physique des coordonnées employées.

Nous n’écrivons pas de termes produits $dr\,d\theta ,$ $dr\,d\varphi ,$ $d\theta \,d\varphi$ à cause de la symétrie du champ dans l’espace ; il n’y a pas non plus de termes en $dr\,dt,$ $d\theta \,dt,$ $d\varphi \,dt$ car suivant l’expression d’Eddington, il y a symétrie dans le temps de l’histoire passée et future de la particule^[1].

Nous pouvons simplifier l’expression (85) en prenant une nouvelle coordonnée $r_{1}^{2}=r^{2}e^{\mu },$ supprimant l’indice et choisissant une nouvelle fonction $\lambda .$ Nous allons donc essayer l’expression

(86-14)

ds^{2}=-e^{\lambda }\,dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2}+e^{\nu }\,dx_{4}^{2}.

↑ Ces conditions sont imposées si l’on veut conserver les notions d’« espace » et de « temps ». L’objection faite par M. Painlevé (C. R. de l’Ac. des Sc., 24 oct. 1921) entre les conclusions physiques déduites de la formule de Schwarzschild, que nous allons établir, n’est pas justifiée. M. Painlevé a employé d’autres coordonnées et a, naturellement, trouvé une autre expression exacte de $ds^{2}.$ Mais si le mathématicien considère, à son point de vue, tous les systèmes de coordonnées comme également bons, il n’en est pas de même pour le physicien qui a besoin d’interpréter les résultats, et qui doit pour cela introduire les grandeurs mesurables avec ses instruments : le choix des coordonnées est alors nécessairement assujetti à certaines conditions. La formule de M. Painlevé ne peut pas être interprétée physiquement, parce qu’elle contient un terme en $dr\,dt$ incompatible avec la symétrie dans le « temps ». Ce point paraît avoir échappé à l’auteur.
La réponse à ces objections est implicitement contenue dans l’Ouvrage de Laue (Das Relativitätsprinzip, B. II) et dans un Mémoire de Mie (Ann. der Physik, 1921)

[1] Ces conditions sont imposées si l’on veut conserver les notions d’« espace » et de « temps ». L’objection faite par M. Painlevé (C. R. de l’Ac. des Sc., 24 oct. 1921) entre les conclusions physiques déduites de la formule de Schwarzschild, que nous allons établir, n’est pas justifiée. M. Painlevé a employé d’autres coordonnées et a, naturellement, trouvé une autre expression exacte de $ds^{2}.$ Mais si le mathématicien considère, à son point de vue, tous les systèmes de coordonnées comme également bons, il n’en est pas de même pour le physicien qui a besoin d’interpréter les résultats, et qui doit pour cela introduire les grandeurs mesurables avec ses instruments : le choix des coordonnées est alors nécessairement assujetti à certaines conditions. La formule de M. Painlevé ne peut pas être interprétée physiquement, parce qu’elle contient un terme en $dr\,dt$ incompatible avec la symétrie dans le « temps ». Ce point paraît avoir échappé à l’auteur.
La réponse à ces objections est implicitement contenue dans l’Ouvrage de Laue (Das Relativitätsprinzip, B. II) et dans un Mémoire de Mie (Ann. der Physik, 1921)

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