Page:Becquerel - Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation, 1922.djvu/245

225

chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

Les potentiels de gravitation $g_{\sigma \tau },$ sont ainsi

(87-14)	$g_{11}=-e^{\lambda },\quad g_{22}=-r^{2},\quad g_{33}=-r^{2}\sin ^{2}\!\theta ,\quad g_{44}=e^{\nu },$
$g_{\sigma \tau }=0$ lorsque $\sigma \neq \tau .$

Le déterminant $g$ se réduit à sa diagonale principale

(88-14)

$-g=e^{\lambda +\nu }r^{4}\sin ^{2}\theta ,$

et l’on a

(89-14)

$g^{\sigma \sigma }={\frac {1}{g_{\sigma \sigma }}}\cdot$

Les potentiels doivent satisfaire aux équations

(90-14)	$\mathrm {R} _{\sigma \tau }=$	$-{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}{\begin{Bmatrix}\sigma \tau \\\alpha \\\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\sigma \alpha \\\beta \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\tau \beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}$
		$+{\frac {\partial ^{2}\operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\sigma }\,\partial x_{\tau }}}-{\begin{Bmatrix}\sigma \tau \\\alpha \\\end{Bmatrix}}{\frac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\alpha }}}=0.$

Il faut calculer tous les symboles de Christoffel

(91-14)

${\begin{Bmatrix}\sigma \tau \\\alpha \\\end{Bmatrix}}={\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }\left({\frac {\partial g_{\beta \sigma }}{\partial x_{\tau }}}+{\frac {\partial g_{\beta \tau }}{\partial x_{\sigma }}}-{\frac {\partial g_{\sigma \tau }}{\partial x_{\beta }}}\right)\,;$

mais, puisque les potentiels sont nuls sauf quand leurs deux indices sont égaux, la sommation par rapport à $\beta$ disparaît et l’on a

(92-14)

${\begin{Bmatrix}\sigma \tau \\\alpha \\\end{Bmatrix}}={\frac {1}{2g_{\alpha \alpha }}}\left({\frac {\partial g_{\alpha \sigma }}{\partial x_{\tau }}}+{\frac {\partial g_{\alpha \tau }}{\partial x_{\sigma }}}-{\frac {\partial g_{\sigma \tau }}{\partial x_{\alpha }}}\right)\quad$ (sans sommation).

Les cas possibles sont les suivants, $\sigma ,$ $\tau ,$ $\rho$ désignant des indices différents :

(93-14)

$\left\{{\begin{aligned}{\begin{Bmatrix}\sigma \sigma \\\sigma \end{Bmatrix}}&={\frac {1}{2}}{\frac {\partial \operatorname {Log} g_{\sigma \sigma }}{\partial x_{\sigma }}},&{\begin{Bmatrix}\sigma \sigma \\\tau \end{Bmatrix}}&=-{\frac {1}{2g_{\tau \tau }}}{\frac {\partial g_{\sigma \sigma }}{\partial x_{\tau }}},\\{\begin{Bmatrix}\sigma \tau \\\tau \end{Bmatrix}}&={\frac {1}{2}}{\frac {\partial \operatorname {Log} g_{\tau \tau }}{\partial x_{\sigma }}},&{\begin{Bmatrix}\sigma \tau \\\rho \end{Bmatrix}}&=0.\end{aligned}}\right.$

Nous obtenons ainsi, en désignant par $\lambda '$ et $\nu '$ les dérivées par rapport à $r$ des exposants $\lambda$ et $\nu$ [équations (86) et (87)],

(94-14)

$\;\left\{{\begin{alignedat}{7}{\begin{Bmatrix}\!11\!\\1\\\end{Bmatrix}}&={\frac {1}{2}}\lambda ',\quad {\begin{Bmatrix}\!12\!\\2\\\end{Bmatrix}}={\frac {1}{r}},\quad {\begin{Bmatrix}\!13\!\\3\\\end{Bmatrix}}&&={\frac {1}{r}},\quad {\begin{Bmatrix}\!14\!\\4\\\end{Bmatrix}}={\frac {1}{2}}\nu ',\\{\begin{Bmatrix}\!22\!\\1\\\end{Bmatrix}}&=-re^{-\lambda },\quad \;{\begin{Bmatrix}\!23\!\\3\\\end{Bmatrix}}=\cot \theta ,\quad \;&&{\begin{Bmatrix}\!33\!\\1\\\end{Bmatrix}}=-r\sin ^{2}\!\theta \,e^{-\lambda },\\{\begin{Bmatrix}\!33\!\\2\\\end{Bmatrix}}&=-\sin \theta \cos \theta ,\qquad &&{\begin{Bmatrix}\!44\!\\1\\\end{Bmatrix}}={\frac {1}{2}}e^{\nu -\lambda }\nu '.\\\end{alignedat}}\right.$

BECQUEREL.

15