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deuxième partie. — la relativité généralisée.
Les 31 autres symboles sont nuls. Il ne faut d’ailleurs pas oublier que
............
Nous allons maintenant développer les équations
qui expriment la loi de gravitation. Ces équations se réduisent ici à quatre :
![{\displaystyle \mathrm {R} _{11}=0,\qquad \mathrm {R} _{22}=0,\qquad \mathrm {R} _{33}=0,\qquad \mathrm {R} _{44}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c712f862675f30f1daeb1203fd28cca740b45f)
les autres
étant identiquement nuls :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} _{11}\equiv -{\frac {\partial }{\partial r}}{\begin{Bmatrix}\!11\!\\1\\\end{Bmatrix}}+&{\begin{Bmatrix}\!11\!\\1\\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!11\!\\1\\\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\!12\!\\2\\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!12\!\\2\\\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\!13\!\\3\\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!13\!\\3\\\end{Bmatrix}}\\+{\begin{Bmatrix}\!14\!\\4\\\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}\!14\!\\4\\\end{Bmatrix}}+{\frac {\partial ^{2}\operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial r^{2}}}-{\begin{Bmatrix}\!11\!\\1\\\end{Bmatrix}}{\frac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial r}}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6502fec33ebc3df1870c9296e0081dacf82ce0a3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} _{22}\equiv -{\frac {\partial }{\partial r}}{\begin{Bmatrix}\!22\!\\1\\\end{Bmatrix}}&+2{\begin{Bmatrix}\!22\!\\1\\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!12\!\\2\\\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\!23\!\\3\\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!23\!\\3\\\end{Bmatrix}}\\&+{\frac {\partial ^{2}\operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial \theta ^{2}}}-{\begin{Bmatrix}\!22\!\\1\\\end{Bmatrix}}{\frac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial r}}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378cb31965dceaf0b64087005e23ba19234bbfb5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} _{33}\equiv -{\frac {\partial }{\partial r}}{\begin{Bmatrix}\!33\!\\1\\\end{Bmatrix}}-{\frac {\partial }{\partial \theta }}&{\begin{Bmatrix}\!33\!\\2\\\end{Bmatrix}}+2{\begin{Bmatrix}\!33\!\\1\\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!13\!\\3\\\end{Bmatrix}}+2{\begin{Bmatrix}\!33\!\\2\\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!23\!\\3\\\end{Bmatrix}}\\-&{\begin{Bmatrix}\!33\!\\1\\\end{Bmatrix}}{\frac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial r}}-{\begin{Bmatrix}\!33\!\\2\\\end{Bmatrix}}{\frac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial \theta }}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f8b2e0abd9b8316c93035d51ed9177bca042a1)
![{\displaystyle \mathrm {R} _{44}\equiv -{\frac {\partial }{\partial r}}{\begin{Bmatrix}\!44\!\\1\\\end{Bmatrix}}+2{\begin{Bmatrix}\!44\!\\1\\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!14\!\\4\\\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}\!44\!\\1\\\end{Bmatrix}}{\frac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial r}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aac3cbe1a8817d0132d4c824c76dd3697bc4ea9)
En substituant la valeur de
(88) et les valeurs (94) des
symboles puis réduisant, nous obtenons
(95-14)
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De la première et de la dernière équation résulte
et comme
et
doivent tendre vers zéro quand
croît indéfiniment