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deuxième partie. — la relativité généralisée.

Les 31 autres symboles sont nuls. Il ne faut d’ailleurs pas oublier que

${\begin{Bmatrix}21\\2\\\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}12\\2\\\end{Bmatrix}}$
............

Nous allons maintenant développer les équations $\mathrm {R} _{\sigma \tau }=0$ qui expriment la loi de gravitation. Ces équations se réduisent ici à quatre :

$\mathrm {R} _{11}=0,\qquad \mathrm {R} _{22}=0,\qquad \mathrm {R} _{33}=0,\qquad \mathrm {R} _{44}=0,$

les autres $\mathrm {R} _{\mu \nu }$ étant identiquement nuls :

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{11}\equiv -{\frac {\partial }{\partial r}}{\begin{Bmatrix}\!11\!\\1\\\end{Bmatrix}}+&{\begin{Bmatrix}\!11\!\\1\\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!11\!\\1\\\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\!12\!\\2\\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!12\!\\2\\\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\!13\!\\3\\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!13\!\\3\\\end{Bmatrix}}\\+{\begin{Bmatrix}\!14\!\\4\\\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}\!14\!\\4\\\end{Bmatrix}}+{\frac {\partial ^{2}\operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial r^{2}}}-{\begin{Bmatrix}\!11\!\\1\\\end{Bmatrix}}{\frac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial r}}=0,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{22}\equiv -{\frac {\partial }{\partial r}}{\begin{Bmatrix}\!22\!\\1\\\end{Bmatrix}}&+2{\begin{Bmatrix}\!22\!\\1\\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!12\!\\2\\\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\!23\!\\3\\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!23\!\\3\\\end{Bmatrix}}\\&+{\frac {\partial ^{2}\operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial \theta ^{2}}}-{\begin{Bmatrix}\!22\!\\1\\\end{Bmatrix}}{\frac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial r}}=0,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{33}\equiv -{\frac {\partial }{\partial r}}{\begin{Bmatrix}\!33\!\\1\\\end{Bmatrix}}-{\frac {\partial }{\partial \theta }}&{\begin{Bmatrix}\!33\!\\2\\\end{Bmatrix}}+2{\begin{Bmatrix}\!33\!\\1\\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!13\!\\3\\\end{Bmatrix}}+2{\begin{Bmatrix}\!33\!\\2\\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!23\!\\3\\\end{Bmatrix}}\\-&{\begin{Bmatrix}\!33\!\\1\\\end{Bmatrix}}{\frac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial r}}-{\begin{Bmatrix}\!33\!\\2\\\end{Bmatrix}}{\frac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial \theta }}=0,\end{aligned}}$

$\mathrm {R} _{44}\equiv -{\frac {\partial }{\partial r}}{\begin{Bmatrix}\!44\!\\1\\\end{Bmatrix}}+2{\begin{Bmatrix}\!44\!\\1\\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!14\!\\4\\\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}\!44\!\\1\\\end{Bmatrix}}{\frac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial r}}=0.$

En substituant la valeur de $-g$ (88) et les valeurs (94) des symboles puis réduisant, nous obtenons

(95-14)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {R} _{11}&\equiv {\frac {1}{2}}\nu ^{\prime \prime }-{\frac {1}{4}}\lambda ^{\prime }\nu ^{\prime }+{\frac {1}{4}}\nu ^{\prime 2}-{\frac {\lambda ^{\prime }}{r}}=0,\\\mathrm {R} _{22}&\equiv e^{-\lambda }\left[1+{\frac {1}{2}}r(\nu ^{\prime }-\lambda ^{\prime })\right]-1=0,\\\mathrm {R} _{33}&\equiv \sin ^{2}\!\theta \,e^{-\lambda }\left[1+{\frac {1}{2}}r(\nu ^{\prime }-\lambda ^{\prime })\right]-\sin ^{2}\!\theta =0,\\\mathrm {R} _{44}&\equiv e^{\nu -\lambda }\left(-{\frac {1}{2}}\nu ^{\prime \prime }+{\frac {1}{4}}\lambda ^{\prime }\nu ^{\prime }-{\frac {1}{4}}\nu ^{\prime 2}-{\frac {\nu ^{\prime }}{r}}\right)=0.\end{aligned}}\right.$

De la première et de la dernière équation résulte $\lambda ^{\prime }=-\nu ^{\prime }$ et comme $\lambda$ et $\nu$ doivent tendre vers zéro quand $r$ croît indéfiniment