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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

(conditions aux limites)

$\lambda =-\nu .$

La seconde et la troisième équation sont identiques et en vertu de l’équation $\lambda =-\nu$ elles donnent

$e^{\nu }(1+r\nu ')=1.$

Pour intégrer cette équation posons $e^{\nu }=\gamma ,$ nous avons

$\gamma +r\gamma '=1,$

d’où

(96-14)

$\gamma =e^{\nu }=1-{\frac {\mathrm {A} }{r}},$

$\mathrm {A}$ étant la constante d’intégration. Cette constante est arbitraire dans le calcul, mais physiquement, pour une particule donnée, elle est évidemment déterminée et elle caractérise la particule au point de vue gravifique, puisque la particule produit un champ déterminé. Nous pouvons poser

$\mathrm {A} ={\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}}},$

d’où

(97-14)

$\gamma =1-{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r}},$

$\mathrm {G}$ étant la constante de la gravitation newtonienne ; $\mathrm {M}$ est une nouvelle constante que nous identifierons plus loin avec la masse de la particule.

Remplaçons dans (86-14) $e^{\nu }$ et $e^{-\lambda }$ par $1-{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r}},$ nous obtenons l’expression définitive de $ds^{2}$

(98-14)

${\begin{aligned}ds^{2}=-\left(1-{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r}}\right)^{\!-1}\,dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}&-r^{2}\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2}\\+{}&c^{2}\left(1-{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r}}\right)dt^{2}\end{aligned}}$

dont nous avions obtenu une expression approchée (83-14) au n^o 89.

Cherchons maintenant la signification des coordonnées $r,$ $\theta ,$ $\varphi ,$ $t.$

1^o Le temps. — En un point fixe par rapport au centre matériel $(dr=0,$ $d\theta =0,$ $d\varphi =0)$ l’intervalle du temps mesuré entre deux événements infiniment rapprochés est

(99-14)

$d\tau ={\frac {ds}{c}}={\sqrt {\overset {}{\gamma }}}\,dt.$