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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

et par substitution de la valeur de $\gamma ,$ $\gamma =1-{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r}},$

(109-14)

$\;\left\{{\begin{aligned}\left({\frac {dr}{ds}}\right)^{2}\!+r^{2}\left({\frac {d\varphi }{ds}}\right)^{2}\!&=(k^{2}-1)+{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r}}+{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}}}{\frac {h^{2}}{r^{3}}},\\&r^{2}{\frac {d\varphi }{ds}}=h.\end{aligned}}\right.$

On sait, d’autre part, que les équations du mouvement elliptique résultant de la loi newtonienne sont les suivantes :

(110-14)

$\left\{{\begin{aligned}\left({\frac {dr}{ds}}\right)^{2}\!+r^{2}\left({\frac {d\varphi }{ds}}\right)^{2}\!&=-{\frac {\mathrm {GM} }{a}}+{\frac {2\mathrm {GM} }{r}},\\r^{2}{\frac {d\varphi }{dt}}&=h_{0},\end{aligned}}\right.$

$a$ étant le demi grand axe de l’orbite.

Comparons ces équations newtoniennes à celles qu’on déduit de la théorie d’Einstein : la première des équations (109) contient un terme supplémentaire ${\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}}}{\frac {h^{2}}{r^{3}}}$ que ne prévoyait pas l’ancienne théorie. Dans (109), $ds=c\,d\tau ,$ $\tau$ étant le temps propre du mobile, très peu différent de $dt\,;$ $r$ peut être confondu pratiquement avec la distance, au sens euclidien ; donc, à part le terme supplémentaire, on peut identifier les équations (109) et (110) en posant $k^{2}=1-{\frac {\mathrm {GM} }{c^{2}a}}$ et l’on voit encore de cette manière que la quantité $\mathrm {M}$ qui avait été introduite comme constante d’intégration est la masse de la particule attirante.

À grande distance du centre, le terme supplémentaire est négligeable et l’on retrouve le mouvement prévu dans la théorie de Newton.

93. Première vérification de la loi d’Einstein.
Le déplacement du périhélie de la planète Mercure.

Les calculs qui précèdent s’appliquent au mouvement des planètes ou de leurs satellites^[1].

1. Beaucoup d’auteurs simplifient les formules en prenant pour unités naturelles la vitesse de la lumière $(c=1)$ et la constante de la gravitation newtonienne $(\mathrm {G} =1).$ Nous avons préféré conserver l’homogénéité habituelle des formules.