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deuxième partie. — la relativité généralisée.

Des équations (109-14) on déduit immédiatement

$\left({\frac {h}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}\!+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}=(k^{2}-1)+{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r}}+{\frac {2\mathrm {GM} h^{2}}{c^{2}r^{3}}}$

ou, en posant $u={\frac {1}{r}},$,

$\left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}\!+u^{2}={\frac {k^{2}-1}{h^{2}}}+{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}h^{2}}}u+{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}}}u^{3}\,;$

par dérivation, il vient

(111-14)

${\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u={\frac {\mathrm {GM} }{c^{2}h^{2}}}+{\frac {3\mathrm {GM} }{c^{2}}}u^{2}.$

Pour intégrer cette équation, nous allons procéder par approximations successives.

Le second terme du deuxième membre est très petit par rapport au premier terme ; leur rapport est

$3h^{2}u^{2}=3\left(r{\frac {d\varphi }{ds}}\right)^{2}\qquad$ [d’après (109-14)],

c’est trois fois le carré du rapport de la vitesse transversale de la planète à la vitesse de la lumière. Dans le système solaire $\left(r{\frac {d\varphi }{ds}}\right)^{2}$ est de l’ordre de $10^{-8}\,;$ nous pouvons donc d’abord négliger le terme en $u^{2}$ dans (111) et nous obtenons l’ancienne solution de la mécanique céleste newtonienne

(112-14)

$u={\frac {\mathrm {GM} }{c^{2}h^{2}}}\left[1+e\cos(\varphi -\varpi )\right],$

$e$ étant l’excentricité de l’orbite, et $\varpi$ la longitude du périhélie.

Une seconde approximation s’obtient en substituant la valeur (112) de $u$ dans le terme ${\frac {3\mathrm {GM} }{c^{2}}}u^{2}$ de (111), de sorte que cette équation (111) devient

(113-14)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u={\frac {\mathrm {GM} }{c^{2}h^{2}}}&+{\frac {3\mathrm {G^{3}M^{3}} }{c^{6}h^{4}}}+{\frac {6\mathrm {G^{3}M^{3}} }{c^{6}h^{4}}}e\cos(\varphi -\varpi )\\&+{\frac {3\mathrm {G^{3}M^{3}e^{2}} }{2c^{6}h^{4}}}\left[1+\cos 2(\varphi -\varpi )\right].\end{aligned}}$

Parmi les termes additionnels ainsi obtenus, le seul qui donne