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deuxième partie. — la relativité généralisée.

Dans le cas du champ de gravitation d’un centre, il est facile d’écrire ces équations : les valeurs des symboles de Christoffel ont été calculées précédemment (94-14). Faisons d’abord $\sigma =2,$ nous obtenons :

(102-14)

${\frac {d^{2}\theta }{ds^{2}}}-\cos \theta \sin \theta \left({\frac {d\varphi }{ds}}\right)^{2}\!+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{ds}}{\frac {d\theta }{ds}}=0.$

Nous pouvons choisir les coordonnées de manière que la vitesse initiale du mobile soit dans le plan $\theta ={\frac {\pi }{2}}\,;$ comme nous avons initialement ${\frac {d\theta }{ds}}=0$ et $\cos \theta =0,$ il en résulte que ${\frac {d^{2}\theta }{ds^{2}}}=0:$ la trajectoire reste dans un plan.

Pour $\sigma =1,$ $2,$ $3,$ $\theta$ étant égal à ${\frac {\pi }{2}},$ nous avons les équations

(103-14)

$\;{\frac {d^{2}r}{ds^{2}}}+{\frac {1}{2}}\lambda '\left({\frac {dr}{ds}}\right)^{2}\!-re^{-\lambda }\left({\frac {d\varphi }{ds}}\right)^{2}\!+{\frac {1}{2}}e^{\nu -\lambda }\nu '\left({\frac {dx_{4}}{ds}}\right)^{2}\!=0.$

(104-14)

${\frac {d^{2}\varphi }{ds^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{ds}}{\frac {d\varphi }{ds}}=0,$

(105-14)

${\frac {d^{2}x_{4}}{ds^{2}}}+\nu '{\frac {dr}{ds}}{\frac {dx_{4}}{ds}}=0\qquad (x_{4}=ct).$

L’intégration des deux dernières équations donne

(106-14)

$r^{2}{\frac {d\varphi }{ds}}=h,$

(107-14)

${\frac {dx_{4}}{ds}}=k\,e^{-\nu }={\frac {k}{\gamma }},$

$h$ et $k$ étant deux constantes d’intégration.

Au lieu de chercher à intégrer (103), il est plus simple de déduire de l’expression (98-14) de $ds^{2},$ en y faisant $d\theta =0,$ $\sin \theta =1,$ l’équation suivante

(108-14)

$\gamma ^{-1}\left({\frac {dr}{ds}}\right)^{2}\!+r^{2}\left({\frac {d\varphi }{ds}}\right)^{2}\!-\gamma \left({\frac {dx_{4}}{ds}}\right)^{2}=-1$

qui joue le rôle d’une intégrale d’énergie.

Des trois équations précédentes (106, 107, 108) nous déduisons, par élimination de $dx_{4},$

$\left({\frac {dr}{ds}}\right)^{2}\!+r^{2}\left({\frac {d\varphi }{ds}}\right)^{2}\!+\left(\gamma -1\right){\frac {h^{2}}{r^{2}}}-k^{2}=-\gamma ,$