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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

un effet appréciable est le terme en $\cos(\varphi -\varpi )$ parce qu’il constitue une solution de l’équation sans second membre (effet de résonance). On sait qu’une intégrale particulière de l’équation

${\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=\mathrm {A} \cos \varphi$

est

$u_{1}={\frac {1}{2}}\mathrm {A} \,\varphi \sin \varphi ,$

il en résulte pour $u$ un terme

$u_{1}={\frac {3\mathrm {G^{3}M^{3}} }{c^{6}h^{4}}}e\varphi \sin(\varphi -\varpi )$

qui vient s’ajouter au terme (112), de sorte que, finalement, on obtient une seconde approximation

${\begin{aligned}u&={\frac {\mathrm {GM} }{c^{2}h^{2}}}\left[1+e\cos(\varphi -\varpi )+{\frac {\mathrm {3G^{2}M^{2}} }{c^{4}h^{2}}}e\varphi \sin(\varphi -\varpi )\right]\\&={\frac {\mathrm {GM} }{c^{2}h^{2}}}\left[1+e\cos(\varphi -\varpi -\delta \varpi )\right],\end{aligned}}$

en posant $\delta \varpi ={\frac {\mathrm {3G^{2}M^{2}} }{c^{4}h^{2}}}\varphi$ et négligeant $(\delta \varpi )^{2}.$

La planète décrit une courbe non fermée, mais voisine d’une ellipse dont le périhélie avance proportionnellement à $\varphi ,$ c’est-à-dire tourne pendant une période d’une fraction de tour ${\frac {\delta \varpi }{\varphi }},$

(114-14)

${\frac {\delta \varpi }{\varphi }}={\frac {3\mathrm {G^{2}M^{2}} }{c^{4}h^{2}}}\,;$

$h^{2}$ se calcule aisément d’après (109) en remplaçant $k^{2}-1$ par sa valeur $-{\frac {\mathrm {GM} }{c^{2}a}},$ négligeant le terme en ${\frac {h^{2}}{r^{3}}},$ et remarquant que lorsque le rayon vecteur coïncide avec le grand axe on a ${\frac {dr}{ds}}=0.$ On trouve

$h^{2}={\frac {\mathrm {GM} }{c^{2}}}a(1-e^{2})\,;$

remplaçant dans (114), la rotation du périhélie, exprimée en fraction de tour par période, est

(115-14)

${\frac {\delta \varpi }{\varphi }}={\frac {3\mathrm {GM} }{c^{2}a(1-e^{2})}}\cdot$