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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

L’équation (116-14) peut alors s’écrire

$\left({\frac {dr_{1}}{dt}}\right)^{2}\!+\left(r_{1}{\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}=c^{2}\gamma ^{2},$

et la vitesse, avec ces coordonnées est la même dans toutes les directions

(119-14)

$c_{1}=c\gamma =c\left(1-{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r}}\right)={\text{sensibl.}}\;c\left(1-{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r_{1}}}\right)\cdot$

Mais cette vitesse dépend de la distance $r_{1}.$ Le trajet du rayon lumineux est déterminé par la condition de temps minimum (condition de Fermat) : tout se passe comme si l’espace était euclidien et rempli d’une matière ayant un indice de réfraction

(120-14)

$n={\frac {c}{c_{1}}}=1+{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r_{1}}}\cdot$

La trajectoire du rayon lumineux, dans un milieu réparti en couches concentriques, satisfait à la condition

(121-14)

$np=$ const.,

$p$ étant la distance du centre à la tangente.

D’autre part, d’après (120-14), nous avons approximativement

(122-14)

$n^{2}=1+{\frac {4\mathrm {GM} }{c^{2}r_{1}}},$

(121) et (122) sont l’intégrale des aires et l’intégrale de l’énergie dans le mouvement, suivant la loi de Newton, d’une particule de vitesse $c$ attirée par une masse $2\mathrm {M} .$

L’orbite est une hyperbole dont le demi-axe est

(123-14)

$a={\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}}}\,;$

cette hyperbole est la trajectoire de la lumière.

Si la distance du sommet au foyer est $\mathrm {R} ,$ nous avons

$a(e-1)=\mathrm {R} ,$

et par suite, en tenant compte de (123-14),

$e=1+{\frac {c^{2}\mathrm {R} }{2\mathrm {GM} }}\quad$ ou sensiblement $\quad {\frac {c^{2}\mathrm {R} }{2\mathrm {GM} }}\cdot$