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chapitre XV. — le champ électromagnétique.

101. Le tenseur d’énergie électromagnétique.

Il existe effectivement un tel tenseur ; il est donné par les expressions

(29-15)

$\mathrm {E} _{\mu }^{\sigma }={\frac {1}{c^{2}}}\left(-\mathrm {F} _{\mu \alpha }\mathrm {F} ^{\sigma \alpha }+{\frac {1}{4}}g_{\mu }^{\sigma }\mathrm {F} _{\alpha \beta }\mathrm {F} ^{\alpha \beta }\right).$

Nous allons vérifier que l’équation (28-15) est bien satisfaite. Prenons la divergence des deux membres, en observant que $g_{\mu }^{\sigma }$ est une constante (0 ou 1),

$c^{2}\mathrm {E} _{\mu \sigma }^{\sigma }=-\mathrm {F} _{\mu \alpha }\mathrm {F} _{\sigma }^{\sigma \alpha }-\mathrm {F} ^{\sigma \alpha }\mathrm {F} _{\mu \alpha \sigma }+{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} _{\mu }^{\alpha \beta }\mathrm {F} _{\alpha \beta }+\mathrm {F} ^{\alpha \beta }\mathrm {F} _{\alpha \beta \mu }\right).$

Les deux derniers termes sont égaux, de sorte que nous pouvons écrire

$c^{2}\mathrm {E} _{\mu \sigma }^{\sigma }=\mathrm {F} _{\mu \alpha }\mathrm {F} _{\sigma }^{\alpha \sigma }-\mathrm {F} ^{\sigma \alpha }\mathrm {F} _{\mu \alpha \sigma }+{\frac {1}{2}}\mathrm {F} ^{\alpha \beta }\mathrm {F} _{\alpha \beta \mu }\,;$

or $\mathrm {F} ^{\alpha \sigma }\mathrm {F} _{\mu \alpha \sigma }$ peut s’écrire $\mathrm {F} ^{\alpha \beta }\mathrm {F} _{\mu \alpha \beta }$ ou aussi $\mathrm {F} ^{\alpha \beta }\mathrm {F} _{\beta \mu \alpha }\,;$ on a donc

$c^{2}\mathrm {E} _{\mu \sigma }^{\sigma }=\mathrm {F} _{\mu \alpha }\mathrm {F} _{\sigma }^{\alpha \sigma }+{\frac {1}{2}}\left(\mathrm {F} ^{\alpha \beta }\mathrm {F} _{\mu \alpha \beta }+\mathrm {F} ^{\alpha \beta }\mathrm {F} _{\beta \mu \alpha }+\mathrm {F} ^{\alpha \beta }\mathrm {F} _{\alpha \beta \mu }\right).$

L’expression entre parenthèses est nulle, car d’après la loi de formation des dérivées covariantes à trois indices (38-13) on constate que les termes contenant les symboles de Christoffel se détruisent mutuellement ; l’expression se réduit alors à

${\frac {\partial \mathrm {F} _{\mu \alpha }}{\partial x_{\beta }}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{\beta \mu }}{\partial x_{\alpha }}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{\alpha \beta }}{\partial x_{\mu }}},$

expression qui est nulle d’après (15-15).

Finalement

$c^{2}\mathrm {E} _{\mu \sigma }^{\sigma }=\mathrm {F} _{\mu \alpha }\mathrm {F} _{\sigma }^{\alpha \sigma },$

ce qui est bien l’équation (28-15).

En coordonnées galiléennes, le tenseur d’énergie électromagnétique $\mathrm {E} _{\mu }^{\sigma }$ groupe toutes les grandeurs qui interviennent dans la théorie ancienne :

1o

$c^{2}\mathrm {E} _{4}^{4}={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {X} ^{2}+\mathrm {Y} ^{2}+\mathrm {Z} ^{2}+\mathrm {L} ^{2}+\mathrm {M} ^{2}+\mathrm {N} ^{2}\right)$