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deuxième partie. — la relativité généralisée.

de temps est

${\frac {d{\mathfrak {T}}}{dt}}=\mathrm {X} \,cu+\mathrm {Y} \,cv+\mathrm {Z} \,cw.$

Désignons par $\mathrm {K} _{4}$ ce travail changé de signe et divisé par $c$

(23-15)

$\mathrm {K} _{4}=-{\frac {d{\mathfrak {T}}}{dx_{4}}}=-\mathrm {X} \,u-\mathrm {Y} \,v-\mathrm {Z} \,w.$

D’après la définition du tenseur $\mathrm {F} _{\mu \nu }$ (10-15) et celle du quadrivecteur $\mathrm {J} ^{\mu }$ (13-15), les équations (22-15) et (23-15) se résument ainsi :

(24-15)

$\mathrm {K} _{\mu }=\mathrm {F} _{\mu \nu }\mathrm {J} ^{\nu }=\mathrm {F} _{\mu \nu }\mathrm {F} _{\sigma }^{\nu \sigma },$

ce qui prouve que les $\mathrm {K} _{\mu }$ forment un quadrivecteur covariant ; les composantes d’espace de ce quadrivecteur sont les composantes de la force mécanique s’exerçant sur l’unité de volume, ou, ce qui revient au même, les composantes du gain de quantité de mouvement pour l’unité de volume de la matière ; la composante de temps (coordonnée $x_{4}=ct$) est la perte d’énergie (divisée par $c$). En coordonnées galiléennes, on doit donc écrire

(25-15)

$-c^{2}{\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}=\mathrm {K} _{\mu },$

$\mathrm {T} _{\mu }^{\alpha }$ étant le tenseur matériel (45-14) dont les composantes ont les dimensions physiques d’une densité matérielle.

La généralisation en coordonnées quelconques, et pour un espace-temps de structure quelconque, est nécessairement

(26-15)

$-c^{2}\mathrm {T} _{\mu \alpha }^{\alpha }=\mathrm {K} _{\mu }=\mathrm {F} _{\mu \nu }\mathrm {J} ^{\nu }=\mathrm {F} _{\mu \nu }\mathrm {F} _{\sigma }^{\nu \sigma }.$

Si la loi de conservation de l’impulsion-énergie s’étend aux phénomènes électromagnétiques, il doit exister un tenseur d’énergie électromagnétique $\mathrm {E} _{\mu }^{\alpha }$ dont la variation compense la variation du tenseur matériel, c’est-à-dire qu’on ait

(27-15)

$\mathrm {E} _{\mu \alpha }^{\alpha }+\mathrm {T} _{\mu \alpha }^{\alpha }=0,$

ou

(28-15)

$\mathrm {E} _{\mu \alpha }^{\alpha }={\frac {1}{c^{2}}}\mathrm {K} _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}\mathrm {F} _{\mu \nu }\mathrm {F} _{\sigma }^{\nu \sigma }.$