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chapitre XVI. — le principe d’action stationnaire.

pas d’action électromagnétique le principe d’action stationnaire se réduit à

$\delta \!\iiiint _{\chi }\mathrm {R} {\sqrt {-g}}\,d\omega =0,$

ce qui conduit (par de longs calculs)^[1] à

$\mathrm {R} _{\mu \nu }=0,\qquad \mathrm {R} =0,$

c’est-à-dire à l’absence de matière et à une courbure totale nulle. L’action ne serait stationnaire que « là où elle n’existe pas ». Le principe de moindre action, tout en restant applicable à la mécanique ordinaire et à l’électromagnétisme, ne pourrait être généralisé.

C’est là une grosse difficulté. Il ne nous semble cependant pas qu’on puisse affirmer ainsi l’inexactitude du principe de moindre action généralisé ; on pourrait plutôt conclure à l’insuffisance de la conception d’après laquelle la matière serait une singularité du champ de gravitation seul, c’est-à-dire une simple modification des $g_{\mu \nu }.$ Weyl et Eddington lui-même^[2] ont uni dans une même géométrie le champ de gravitation et le champ électromagnétique ; il résulte de cette extension de la géométrie d’Einstein que l’Univers peut posséder deux propriétés distinctes, la non-intégrabilité de la direction (n^o 74) et la non-intégrabilité de la longueur généralisée. Il est possible d’envisager la matière, non plus uniquement comme une singularité du champ de gravitation, mais comme une singularité d’une structure géométrique plus complexe, qui entraîne à la fois la non-intégrabilité de la direction (champ de gravitation) et la non-intégrabilité de la longueur. Il faut alors envisager séparément l’action gravitationnelle et l’action matérielle, et le principe d’action stationnaire pourrait sans doute être conservé sans que la structure d’Univers (et non plus simplement la courbure $\mathrm {R}$) et la matière fussent considérées comme des entités distinctes. L’action gravitationnelle par unité de quadrivolume serait la densité de courbure ${\mathfrak {R}}=\mathrm {R} {\sqrt {-g}},$ au sens de la théorie d’Einstein, liée à la non-intégrabilité de la direction ; la

1. Eddington, Espace-Temps, Gravitation, partie théorique, n^o 44, p. 106.
2. Voir le dernier Chapitre.