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chapitre XVI. — le principe d’action stationnaire.

${\mathfrak {H}}_{0}$ ne dépend plus des $g_{\sigma \tau }^{\mu \nu },$ et $\delta \mathrm {F}$ est nul. Le principe de variation devient

(10-16)

$\delta \!\iiiint _{\chi }{\mathfrak {H}}_{0}\,d\omega =0,$

et peut se mettre sous la forme des équations de Lagrange^[1] (généralisées)

(11-16)	${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left({\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{0}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)-{\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{0}}{\partial g^{\mu \nu }}}$	$=0,$
(12-16)	${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left({\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{0}}{\partial q_{(\rho )\alpha }}}\right)-{\frac {\partial {\mathfrak {H_{0}}}}{\partial q_{(\rho )}}}$	$=0.$

Ce sont les équations du champ de gravitation et de la substance.

Existence propre du champ de gravitation. Si l’on ne fait aucune restriction sur la manière dont ${\mathfrak {H}}$ dépend des $g^{\mu \nu },$ $g_{\sigma }^{\mu \nu },$ $g_{\sigma \tau }^{\mu \nu },$ $q_{(\rho )},$ $q_{(\rho )\alpha },$ il est impossible de séparer les composantes d’énergie en deux parties dont l’une se rapporte au champ de gravitation et l’autre à la substance (matière et champ électromagnétique). Pour faire cette séparation, Einstein suppose que

(13-16)

${\mathfrak {H}}={\mathfrak {R}}+{\mathfrak {M}},$

où ${\mathfrak {R}}$ dépend seulement des $g^{\mu \nu },$ $g_{\sigma }^{\mu \nu },$ $g_{\sigma \tau }^{\mu \nu },$ ${\mathfrak {M}}$ seulement des $g^{\mu \nu },$ $q_{(\rho )},$ $q_{(\rho )\alpha }.$ Les équations (11) et (12) s’écrivent alors

(14-16)	${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left({\frac {\partial {\mathfrak {R}}_{0}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)-{\frac {\partial {\mathfrak {R}}_{0}}{\partial g^{\mu \nu }}}={\frac {\partial {\mathfrak {M}}}{\partial g^{\mu \nu }}},$
(15-16)	${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left({\frac {\partial {\mathfrak {M}}}{\partial q_{(\rho )\alpha }}}\right)-{\frac {\partial {\mathfrak {M}}}{\partial q_{(\rho )}}}=0,\quad$

${\mathfrak {R}}_{0}$ étant déduit de ${\mathfrak {R}}$ comme ${\mathfrak {H}}_{0}$ est déduit de ${\mathfrak {H}},$ par intégration partielle.

Sans doute, les équations (12) et (15) seraient à remplacer par d’autres, si nous admettions que ${\mathfrak {M}}$ et ${\mathfrak {H}}$ dépendissent des dérivées d’ordre supérieur des $q_{(\rho )}.$ On peut penser aussi que les $q_{(\rho )}$ ne sont pas absolument indépendants. Peu importe pour la suite, car nous ne ferons usage que de l’équation (14-16).

1. Comparer avec le n^o 79.