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deuxième partie. — la relativité généralisée.

Conservation de l’énergie et loi de la gravitation. — Le caractère de transformation des $g_{\mu \nu }$ est déterminé par l’invariance de la forme quadratique fondamentale $ds^{2}=g_{\mu \nu }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }.$ Par contre, nous ne faisons aucune hypothèse sur le caractère de transformation des $q_{(\rho )}$ qui représentent la substance.

La nécessité de la covariance générale des équations (14) et (15) déduites de (8), nous oblige à considérer ${\mathfrak {H}},$ ${\mathfrak {R}},$ ${\mathfrak {M}}$ comme des densités d’invariants ; par conséquent, les fonctions

$\mathrm {H} ={\frac {\mathfrak {H}}{\sqrt {-g}}},\qquad \mathrm {R} ={\frac {\mathfrak {R}}{\sqrt {-g}}},\qquad \mathrm {M} ={\frac {\mathfrak {M}}{\sqrt {-g}}}$

sont des invariants pour une transformation arbitraire des coordonnées. Il est évident (comme nous l’avons vu au numéro précédent) que $\mathrm {R}$ doit être à un facteur constant près (que nous posons égal à 1) et à une constante près (que nous supposerons nulle), l’invariant contracté $g^{\mu \nu }\mathrm {R} _{\mu \nu },$ car il n’y a pas d’autre invariant jouissant des propriétés exigées pour $\mathrm {R} .$ Cette identification détermine complètement ${\mathfrak {R}}_{0}$ et, par suite, le premier membre de l’équation (14-16) qui doit représenter la loi de la gravitation.

Effectuant l’intégration partielle qui permet de calculer ${\mathfrak {R}}_{0}$ à partir de ${\mathfrak {R}}=\mathrm {R} {\sqrt {-g}},$ on trouve

(16-16)

${\mathfrak {R}}_{0}={\sqrt {-g}}\,g^{mn}\left[{\begin{Bmatrix}m\beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}n\alpha \\\beta \\\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}mn\\\beta \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}\right]\cdot$

Du principe de relativité, nous allons déduire certaines propriétés de la fonction ${\mathfrak {R}}_{0}.$ Considérons une transformation infiniment petite des coordonnées, définie par

(17-16)

$x'_{\nu }=x_{\nu }+\Delta x_{\nu }.$

Les $\Delta x_{\nu }$ étant des fonctions arbitraires, infiniment petites, des coordonnées ; les $x'_{\nu }$ sont les coordonnées, dans le nouveau système, du point d’Univers dont les coordonnées étaient $x_{\nu }$ dans l’ancien système.

Une grandeur $\psi$ se transforme suivant une certaine loi

$\psi '=\psi +\Delta \psi ,$

où $\Delta \psi$ doit s’exprimer en fonction des $\Delta x_{\nu }.$ D’après la propriété de covariance des $g^{\mu \nu },$ on obtient les formules de transformation