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chapitre XVI. — le principe d’action stationnaire.

des $g^{\mu \nu }$ et $g_{\sigma }^{\mu \nu }$ suivantes :

(18-16)

$\Delta g^{\mu \nu }=g^{\mu \alpha }{\frac {\partial \Delta x_{\nu }}{\partial x_{\alpha }}}+g^{\nu \alpha }{\frac {\partial \Delta x_{\mu }}{\partial x_{\alpha }}},$

(19-16)

$\Delta g_{\sigma }^{\mu \nu }={\frac {\partial (\Delta g^{\mu \nu })}{\partial x_{\sigma }}}-g_{\alpha }^{\mu \nu }{\frac {\partial \Delta x_{\alpha }}{\partial x_{\sigma }}}.$

Comme ${\mathfrak {R_{0}}}$ ne dépend que des $g^{\mu \nu }$ et $g_{\sigma }^{\mu \nu },$ on peut calculer $\Delta {\mathfrak {R}}_{0}\,;$ on obtient

(20-16)

${\sqrt {-g}}\,\Delta \!\left({\frac {\mathfrak {R_{0}}}{\sqrt {-g}}}\right)=\mathrm {S} _{\sigma }^{\nu }{\frac {\partial \Delta x_{\sigma }}{\partial x_{\nu }}}+2{\frac {\partial {\mathfrak {R_{0}}}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \sigma }}}g^{\mu \nu }{\frac {\partial ^{2}\Delta x_{\sigma }}{\partial x_{\nu }\,\partial x_{\alpha }}},$

en posant

(21-16)

$\mathrm {S} _{\sigma }^{\nu }=2{\frac {\partial {\mathfrak {R_{0}}}}{\partial g^{\mu \sigma }}}g^{\mu \nu }+2{\frac {\partial {\mathfrak {R_{0}}}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \sigma }}}g_{\alpha }^{\mu \nu }+{\mathfrak {R_{0}}}g_{\sigma }^{\nu }-{\frac {\partial {\mathfrak {R_{0}}}}{\partial g_{\nu }^{\mu \alpha }}}g_{\sigma }^{\mu \alpha }.$

Ces deux équations nous conduisent à des conséquences importantes. Nous savons que ${\frac {\mathfrak {R}}{\sqrt {-g}}}$ est un invariant ; il n’en est pas de même de ${\frac {\mathfrak {R_{0}}}{\sqrt {-g}}},$ mais on peut démontrer que cette dernière grandeur est un invariant pour les transformations linéaires des coordonnées. Il résulte de là que le second membre de l’équation (20) doit disparaître lorsque tous les ${\frac {\partial ^{2}\Delta x_{\sigma }}{\partial x_{\nu }\,\partial x_{\alpha }}}$ s’annulent ; par suite, ${\mathfrak {R_{0}}}$ doit satisfaire l’identité

(22-16)

$\mathrm {S} _{\sigma }^{\nu }\equiv 0.$

Choisissons les $\Delta x_{\nu }$ de manière que ces fonctions ne soient différentes de zéro qu’à l’intérieur d’un certain domaine, et s’annulent infiniment près de la limite de ce domaine ; la valeur de l’intégrale (9) étendue en dehors de cette limite ne change pas pour la transformation considérée, et l’on a

$\Delta \mathrm {F} =0,\qquad \Delta \!\iiiint _{\chi }{\mathfrak {R}}\,d\omega =\Delta \!\iiiint _{\chi }{\mathfrak {R}}_{0}\,d\omega$

(en considérant ${\mathfrak {R}}$ et ${\mathfrak {R}}_{0}$ au lieu de ${\mathfrak {H}}$ et ${\mathfrak {H}}_{0}$).

Mais le premier membre de cette équation est nul, puisque ${\frac {\mathfrak {R}}{\sqrt {-g}}}$ et ${\sqrt {-g}}\,d\omega$ sont des invariants ; par conséquent, le second membre est nul ; d’après (20), (21), (22), nous obtenons l’équa-