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deuxième partie. — la relativité généralisée.

tion

(23-16)

$\iiiint _{\chi }{\frac {\partial {\mathfrak {R}}_{0}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \sigma }}}g^{\mu \nu }{\frac {\partial ^{2}\Delta x_{\sigma }}{\partial x_{\nu }\,\partial x_{\alpha }}}\,d\omega =0.$

Par double intégration partielle, on obtient, les $\Delta x_{\sigma }$ étant arbitraires,

(24-16)

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\nu }\,\partial x_{\alpha }}}\left({\frac {\partial {\mathfrak {R}}_{0}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \sigma }}}g^{\mu \nu }\right)\equiv 0.$

Les identités (22) et (24) qui résultent de l’invariance de ${\frac {\mathfrak {R}}{\sqrt {-g}}},$ et par conséquent du principe de relativité, nous donnent les conséquences suivantes :

Transformons les équations (14) du champ de gravitation en les multipliant par $g^{\mu \sigma }\,;$ nous obtenons (après permutation des indices $\sigma$ et $\nu$) les équations équivalentes

(25-16)

${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left({\frac {\partial {\mathfrak {R}}_{0}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \sigma }}}g^{\mu \nu }\right)=-\left({\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }+{\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }\right),$

en posant

(26-16)

${\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }=-{\frac {\partial {\mathfrak {M}}}{\partial g^{\mu \sigma }}}g^{\mu \nu },$

équation qui définit le tenseur d’énergie, et

(27-16)		${\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }$	$=-\left({\frac {\partial {\mathfrak {R}}_{0}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \sigma }}}g_{\alpha }^{\mu \nu }+{\frac {\partial {\mathfrak {R}}_{0}}{\partial g^{\mu \sigma }}}g^{\mu \nu }\right)$
			$={\frac {1}{2}}\left({\mathfrak {R}}_{0}g_{\sigma }^{\nu }-{\frac {\partial {\mathfrak {R}}_{0}}{\partial g_{\nu }^{\mu \alpha }}}g_{\sigma }^{\mu \alpha }\right)$	[d’après (21) et (22)]

Par dérivation de (25) par rapport à $x_{\nu },$ on obtient, d’après (24).

(28-16)

${\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\left({\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }+{\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }\right)=0,$

formule qui exprime la conservation de ${\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }+{\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }.$

Des équations (14), il résulte, après multiplication par $g_{\sigma }^{\mu \nu }$ et en tenant compte de (27),

${\frac {\partial {\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {1}{2}}g_{\sigma }^{\mu \nu }{\frac {\partial {\mathfrak {M}}}{\partial g^{\mu \nu }}}=0,$

ou, d’après (26) et (27),

(29-16)

${\frac {\partial {\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {1}{2}}g_{\sigma }^{\mu \nu }{\mathfrak {T}}_{\mu \nu }=0.$