Page:Becquerel - Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation, 1922.djvu/295

275

chapitre XVII. — la courbure de l’espace et du temps.

obtiendrait toujours $\rho _{0}=0,$ résultat absurde : il n’y aurait pas de matière. C’est d’ailleurs ce que nous avons déjà dit : le tenseur d’énergie électromagnétique ne peut pas contribuer à former une densité de matière.

On peut encore montrer cette contradiction de la façon suivante : la divergence du premier membre de (10-17) étant identiquement nulle, la divergence de $\mathrm {E} _{\mu }^{\nu }$ devrait être nulle. Or, d’après les équations de l’électromagnétique, $\mathrm {E} _{\mu \nu }^{\nu }=0$ entraîne $\mathrm {F} _{\mu \alpha }\mathrm {J} ^{\alpha }=0.$ La densité de courant serait nulle en tout point ; il n’y aurait nulle part ni courant de convection, ni densité de charge : il n’y aurait pas d’électrons.

Il est donc nécessaire de corriger la loi de la gravitation. Puisque l’invariant contracté de $\mathrm {E} _{\mu \nu }$ est nul, nous devons identifier $\mathrm {E} _{\mu \nu }$ avec un tenseur de courbure dont l’invariant contracté soit nul.

Le tenseur du second ordre le plus général contenant les $g_{\mu \nu },$ leurs dérivées premières et secondes et linéaire par rapport à ces dernières est de la forme

(11-17)

$c_{1}\mathrm {R} _{\mu \nu }+c_{2}\mathrm {R} g_{\mu \nu }+c_{3}g_{\mu \nu },$

$c_{1},$ $c_{2},$ $c_{3}$ étant des constantes.

Nous avions donc fait une restriction en posant $c_{3}=0\,;$ il est temps de la supprimer et de déterminer $c_{3}$ par la condition que l’invariant contracté du tenseur général soit nul ; nous obtenons le tenseur

$c_{1}\left(\mathrm {R} _{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }\mathrm {R} \right).$

Nous devons donc écrire

(12-17)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }\mathrm {R} =-\varkappa \mathrm {E} _{\mu \nu },$

équations qui expriment la loi de la gravitation, si $\mathrm {E} _{\mu \nu }$ désigne le tenseur d’énergie du champ électromagnétique des électrons.

Formons la divergence des deux membres de

$\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-{\frac {1}{4}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R} =-\varkappa \mathrm {E} _{\mu }^{\nu },$

nous obtenons immédiatement, par application des équations