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chapitre XVII. — la courbure de l’espace et du temps.

augmente, enfin que la circonférence elle-même décroît et finit par se réduire à un point : le point antipode.

Les mathématiciens de ce monde comprendront que leur univers est courbe ; ils déduiront de leurs mesures d’arpentage que c’est une surface à courbure constante positive, finie bien qu’illimitée, limitant un « hypercercle » à trois dimensions dont ils pourront calculer le rayon.

Soient $\mathrm {O}$ l’origine des coordonnées, prise en un point de la Fig. 18.
surface sphérique, $\mathrm {A}$ le centre, $\chi$ l’angle $\mathrm {OAC} ,$ $\theta$ l’angle azimutal du plan $\mathrm {OAC} .$ L’élément de longueur en un point $\mathrm {C}$ est

$dl^{2}=\mathrm {U} ^{2}d\chi ^{2}+\mathrm {U} ^{2}\sin ^{2}\!\chi \,d\theta ^{2},$

$\mathrm {U}$ étant le rayon de la sphère. L’élément de ligne d’Univers a pour expression

(27-17)

$ds^{2}=-dl^{2}\!+c^{2}dt^{2}=-\mathrm {U} ^{2}(\,d\chi ^{2}\!+\sin ^{2}\!\chi \,d\theta ^{2})+c^{2}dt^{2}.$

Ajoutant une dimension d’espace, nous avons l’Univers à courbure constante d’Einstein, la formule (25-17) étant l’extension de (27-17) avec une dimension supplémentaire mesurée par $\varphi .$

Faisant $dt=0$ dans la formule (25-17), nous obtenons l’expression de l’élément de longueur dans l’espace

(28-17)

$dl^{2}=\mathrm {U} ^{2}\left[d\chi ^{2}+\sin ^{2}\!\chi (\,d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})\right].$

L’espace à courbure constante positive a deux formes possibles : l’espace sphérique de Riemann et l’espace elliptique de