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deuxième partie. — la relativité généralisée.

Newcomb, tous deux représentés par l’équation (28). Nous nous bornerons à étudier l’espace sphérique.

Cet espace est difficile à se représenter : il n’a absolument rien de commun avec l’intérieur d’une sphère ordinaire dans un espace à trois dimensions : il limite une hypersphère dans un espace à quatre dimensions comme une surface sphérique limite une sphère.

Si nous portons sur la surface d’une sphère ordinaire, à partir du point $\mathrm {O}$ et dans toutes les directions, des longueurs égales $\mathrm {OC} =\mathrm {U} \chi ,$ nous obtenons le cercle $\mathrm {CC'}$ dont la circonférence a pour longueur $2\pi \mathrm {U} \sin \chi$ et dont le rayon curviligne (mesuré sur la surface) est $\mathrm {OC} =r=\mathrm {U} \chi .$ De même dans l’espace courbe qui limite une hypersphère quadridimensionnelle, si nous portons à partir d’un point des longueurs $r$ égales (mesurées sur des fils tendus), nous obtenons une sphère dont le rayon (mesuré dans l’espace sphérique tridimensionnel) est $r=\mathrm {U} \chi$ et dont la surface est $4\pi \mathrm {U} ^{2}\sin ^{2}\chi .$ Portons des longueurs de plus en plus grandes, nous obtenons des sphères de surfaces croissantes jusqu’au rayon ${\frac {1}{2}}\pi \mathrm {U} ,$ ensuite les sphères décroissent jusqu’à se réduire à un point, le point antipode à la distance $\pi \mathrm {U} .$

Le volume total de l’espace sphérique est $2\pi ^{2}\mathrm {U} ^{3}$ (l’espace elliptique de Newcomb a un volume $\pi ^{2}\mathrm {U} ^{3}$).

La masse totale de la matière, de densité moyenne $\rho ,$ est

(29-17)

$\mathrm {M} =2\pi ^{2}\mathrm {U} ^{3}\rho$

et comme l’on a, d’après (23-17),

$\rho ={\frac {2\lambda }{\varkappa }}\,;\qquad \lambda ={\frac {1}{\mathrm {U} ^{2}}},$

nous obtenons les relations suivantes :

(30-17)

$\mathrm {U} ={\sqrt {\frac {2}{\varkappa \rho }}}\,;\qquad \mathrm {U} ={\frac {\varkappa }{4\pi ^{2}}}\mathrm {M} \,;\qquad \mathrm {M} ={\sqrt {\frac {32\pi ^{4}}{\varkappa ^{2}\rho }}}\cdot$

On voit que, dans l’hypothèse d’Einstein, la courbure d’ensemble de l’espace est déterminée par la matière mondiale.

Il est difficile de vérifier si cette conception est exacte. On a cherché à estimer la masse de la matière connue : on pense que la