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chapitre XVII. — la courbure de l’espace et du temps.

Or

$\sin \alpha$	$={\frac {\mathbf {r} }{c_{1}}}{\frac {d\varphi }{dt}}\quad$

	$={\frac {h}{c_{1}\mathbf {r} }}$	[d’après la première des équations (53-17)],

remplaçant $c_{1}$ par sa valeur (55-17), on obtient la trajectoire du rayon lumineux (trajectoire repérée par l’observateur, qui s’imagine que le rayon est dans l’Univers tangent)

(56-17)

\sin \alpha ={\frac {h}{\mathbf {r} {\sqrt {c^{2}(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2})-\varepsilon h^{2}}}}}\cdot

À mesure que $\mathbf {r}$ augmente ${\Big (}\!$ c’est-à-dire que $\chi$ tend vers ${\frac {\pi }{2}}{\Big )},$ $\alpha$ tend vers zéro, et la vitesse de la lumière devient infinie pour $\mathbf {r}$ infini.

La trajectoire du rayon lumineux n’est une ligne droite que dans le cas d’une propagation radiale, et pour une propagation radiale $(\alpha =0)$ la vitesse mesurée de la lumière est $c{\sqrt {1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}.$

Imaginons maintenant qu’une onde lumineuse parte du lieu où se trouve l’observateur ; sa vitesse (vitesse radiale) croît indéfiniment suivant la loi précédente ; cependant, pour que la lumière parvienne à l’infini ${\Big (}\!$ zone $\chi ={\frac {\pi }{2}}{\Big )},$ il faut un temps infini

(57-17)

\mathrm {T} ={\frac {\mathrm {U} }{c}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sec \chi \,d\chi =\infty \,;

a fortiori, un mobile matériel demandera un temps infini pour atteindre la zone $\chi ={\frac {\pi }{2}}\cdot$

Alors, plus d’anti-soleil, plus d’anti-étoiles, car dans la zone $\chi ={\frac {\pi }{2}}$ il y a la barrière du temps : pour l’observateur, jamais un mobile, jamais un rayon de lumière ne franchiront cette barrière, jamais ils ne reviendront. Et pourtant, si l’on pouvait mesurer la vitesse d’un mobile à mesure qu’il s’éloigne, on trouverait que cette vitesse croît indéfiniment. C’est bien, pour l’homme, l’illusion complète d’un Univers infini dans l’espace comme il est infini dans le temps.