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deuxième partie. — la relativité généralisée.

111. L’effet Doppler.

L’hypothèse d’Einstein et celle de de Sitter conduisent à des résultats profondément différents pour l’effet Doppler.

Effet Doppler dans l’Univers d’Einstein. — Soit une source lumineuse possédant un mouvement dirigé radialement par rapport à l’observateur. La vitesse $v={\frac {dr}{dt}}$ étant constante, ainsi que la vitesse $c$ de la lumière, il n’y a aucune raison de trouver (en moyenne) pour les astres très lointains un effet Doppler d’un autre ordre de grandeur que pour les étoiles les plus voisines de notre système.

En raisonnant avec la coordonnée $\mathbf {r}$ (espace tangent) on arrive, bien entendu, à la même conclusion. Soient $\tau$ la période propre de la source, $\mathrm {T}$ la période apparente, $v$ la vitesse ${\frac {dr}{dt}},$ $v_{1}$ sa vitesse apparente ${\frac {d\mathbf {r} }{dt}},$ $c_{1}$ la vitesse apparente de la lumière pour l’observateur. On a, comme dans la théorie donnée au n^o 29,

(58-17)

$\mathrm {T} ={\frac {\tau }{\sqrt {1-{\dfrac {v_{1}^{2}}{c_{1}^{2}}}}}}\left(1\pm {\frac {v_{1}}{c_{1}}}\right)\,;$

or l’on a

$v_{1}=(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2})v\qquad$	[d’après (40-17) (où $h=0$)],
$c_{1}=(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2})c$	[d’après (42-17)],

${\frac {v_{1}}{c_{1}}}={\frac {v}{c}}\cdot$ L’effet Doppler est le même quelle que soit la distance.

Effet Doppler dans l’Univers de de Sitter. — 1^o Si la source était immobile par rapport à l’observateur, sa période apparente serait ${\frac {\tau }{\cos \chi }}\cdot$

Le ralentissement apparent du temps à la distance $\mathbf {r} =\mathrm {U} \operatorname {tang} \chi$ (ou $r=\mathrm {U} \chi$) doit donc avoir pour effet un déplacement systématique des raies spectrales vers le rouge, d’autant plus grand que la source est plus éloignée.

2^o Si la source est en mouvement, un effet Doppler proprement