296
deuxième partie. — la relativité généralisée.
jamais dépasser la vitesse apparente
de la lumière ; puis, au delà, l’activité semblerait diminuer et tout mouvement s’éteindrait dans la zone
Pour l’homme tridimensionnel, qui ne connaît que la projection de l’Univers réel sur l’Univers tangent au point où il se trouve, l’aspect des choses est bien différent. Pour cet observateur, la distance d’un objet est
adoptons maintenant cette coordonnée, l’expression de
devient
(52-17)
|
|
|
On a
![{\displaystyle r=\mathrm {U} \chi ,\qquad \mathbf {r} =\mathrm {U} \operatorname {tang} \chi ,\qquad {\frac {dr}{dt}}=\cos ^{2}\!\chi {\frac {d\mathbf {r} }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7282726b0868063e42cb2eee08a7dc0f284f6d2d)
de sorte que les équations (50-17) sont remplacées par les suivantes :
(53-17)
|
|
|
Si un mobile, dont la vitesse est voisine de
près de l’origine, s’éloigne à l’infini, c’est-à-dire si
tend vers
sa vitesse mesurée croît indéfiniment.
Dans le cas de la lumière,
on a donc[1]
![{\displaystyle \left({\text{pour}}\;\theta ={\frac {\pi }{2}},\;{\frac {d\theta }{dt}}=0\right),\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1ddcedb004c0e54e0da332fdd75dde1b03300e)
[d’après (52-17)],
![{\displaystyle {\frac {1}{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)^{2}\!+\mathbf {r} ^{2}\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\!=c^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642d958c3c2e0e116f16afb048f514f59b52126d)
Soit
l’angle du rayon vecteur et de la tangente au rayon lumineux ; on a
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=c_{1}\cos \alpha ,\qquad \mathbf {r} {\frac {d\varphi }{dt}}=c_{1}\sin \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47585573004ec22a91480e24d4f2574e71f13643)
et l’expression précédente donne pour la vitesse mesurée
de la lumière
(55-17)
|
|
|
- ↑ Note de Wikisource : Il n’y a aucune équation (54-17) entre les équations (53-17) et (55-17). Toutefois, nous ignorons si elle est absente ou n’a pas été identifiée.