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deuxième partie. — la relativité généralisée.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

jamais dépasser la vitesse apparente ${\frac {c}{\sqrt {2}}}$ de la lumière ; puis, au delà, l’activité semblerait diminuer et tout mouvement s’éteindrait dans la zone $r={\frac {1}{2}}\pi \mathrm {U} .$

Pour l’homme tridimensionnel, qui ne connaît que la projection de l’Univers réel sur l’Univers tangent au point où il se trouve, l’aspect des choses est bien différent. Pour cet observateur, la distance d’un objet est $\mathbf {r} =\mathrm {U} \operatorname {tang} \chi \,;$ adoptons maintenant cette coordonnée, l’expression de $ds^{2}$ devient

(52-17)

$ds^{2}=-{\frac {d\mathbf {r} ^{2}}{(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2})^{2}}}-{\frac {\mathbf {r} ^{2}(d\theta ^{2}\!+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})}{(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2})}}+{\frac {c^{2}dt^{2}}{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}\cdot$

On a

$r=\mathrm {U} \chi ,\qquad \mathbf {r} =\mathrm {U} \operatorname {tang} \chi ,\qquad {\frac {dr}{dt}}=\cos ^{2}\!\chi {\frac {d\mathbf {r} }{dt}},$

de sorte que les équations (50-17) sont remplacées par les suivantes :

(53-17)

$\left\{{\begin{aligned}\mathbf {r} ^{2}{\frac {d\varphi }{dt}}&=h,\\\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)^{2}\!&+\mathbf {r} ^{2}\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\!=c^{2}\varepsilon \mathbf {r} ^{2}+k.\end{aligned}}\right.$

Si un mobile, dont la vitesse est voisine de ${\sqrt {k}}$ près de l’origine, s’éloigne à l’infini, c’est-à-dire si $\chi$ tend vers ${\frac {\pi }{2}},$ sa vitesse mesurée croît indéfiniment.

Dans le cas de la lumière, $ds=0,$ on a donc^[1]

$\left({\text{pour}}\;\theta ={\frac {\pi }{2}},\;{\frac {d\theta }{dt}}=0\right),\qquad$ [d’après (52-17)],

${\frac {1}{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)^{2}\!+\mathbf {r} ^{2}\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\!=c^{2}.$

Soit $\alpha$ l’angle du rayon vecteur et de la tangente au rayon lumineux ; on a

${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=c_{1}\cos \alpha ,\qquad \mathbf {r} {\frac {d\varphi }{dt}}=c_{1}\sin \alpha ,$

et l’expression précédente donne pour la vitesse mesurée $c_{1}$ de la lumière

(55-17)

$c_{1}=c{\sqrt {\frac {1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}\sin ^{2}\!\alpha }}}\cdot$

1. Note de Wikisource : Il n’y a aucune équation (54-17) entre les équations (53-17) et (55-17). Toutefois, nous ignorons si elle est absente ou n’a pas été identifiée.