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chapitre XVIII. — champ de gravitation et champ électromagnétique.

propriétés gravifiques et les quatre $\varphi _{\mu }$ qui décrivent les propriétés électromagnétiques.

La loi à laquelle doivent obéir les $\varphi _{\mu }$ est toute trouvée : c’est la loi du champ électromagnétique exprimée sous forme tensorielle par la généralisation des équations de Maxwell (17-15). L’union de cette loi et de la loi de la gravitation constitue la loi générale de la structure d’Univers ; la géométrie des $g_{\mu \nu }$ et celle des $\varphi _{\mu }$ sont maintenant unies en une seule et même géométrie.

Puisque les $\varphi _{\mu }$ ne sont déterminés qu’à des fonctions $\varphi '_{\mu }$ près, telles que $\varphi '_{\mu }\,dx_{\mu }$ soit une différentielle totale, on peut ajouter au second membre de (7-18) une fonction de point complètement arbitraire, ce qui exprime précisément l’indétermination du système de jauges. Quant au rotationnel $\mathrm {F} _{\mu \nu },$ il reste le même malgré cette indétermination puisque les ${\frac {\partial \varphi '_{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {\partial \varphi '_{\nu }}{\partial x_{\mu }}}$ sont nuls : cela signifie que les forces électriques et magnétiques sont indépendantes du système de jauges.

Nous avons montré que la quadruple indétermination des coordonnées $x_{\mu }$ conduit nécessairement à quatre identités, d’où résulte la conservation de l’impulsion-énergie. De même, l’indétermination du système de jauges doit avoir pour conséquence une loi supplémentaire de conservation ; nous connaissons cette loi : elle exprime la conservation de l’électricité (n^o 99).

Ainsi, il est tout à fait raisonnable de penser que la non-intégrabilité des longueurs est caractéristique du champ électromagnétique, car précisément la suppression de la restriction illogique qui avait été conservée nous donne les quatre quantités dont nous avons besoin pour définir complètement l’état de l’Espace-Temps en chaque point. Il est difficile de ne voir qu’une coïncidence dans un pareil résultat.

Mais Weyl a encore conservé une restriction, puisqu’il a admis que la variation de la longueur (généralisée) ne dépend que du parcours suivi et qu’elle est indépendante de la manière dont a été fait le transport sur un même parcours. Nous avons dit qu’il a cru cette condition nécessaire parce que sa suppression soulevait une grosse difficulté pour attribuer à la lumière une trajectoire définie.

Eddington a fait tomber la restriction de Weyl, la dernière qui