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chapitre XV. — le champ électromagnétique.

La divergence $\mathrm {F} _{\nu }^{\mu \nu }$ se simplifie à cause du caractère symétrique gauche de $\mathrm {F} ^{\mu \nu }\,;$ on a, d’après (60-13), en introduisant les densités tensorielles,

(18-15)

${\mathfrak {F}}_{\nu }^{\mu \nu }={\frac {\partial {\mathfrak {F}}^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}={\mathfrak {J}}^{\mu }.$

99. La loi de conservation de l’électricité.

De l’équation précédente nous tirons

(19-15)

${\frac {\partial {\mathfrak {J}}^{\mu }}{\partial x_{\mu }}}={\frac {\partial ^{2}{\mathfrak {F}}^{\mu \nu }}{\partial x_{\mu }\,\partial x_{\nu }}}=0,$

car ${\mathfrak {F}}^{\mu \nu }$ étant symétrique gauche, ${\frac {\partial ^{2}{\mathfrak {F}}^{\mu \nu }}{\partial x_{\mu }\,\partial x_{\nu }}}=0.$ D’après (55-13), il résulte de là

(20-15)

${\mathfrak {J}}_{\mu }^{\mu }=0.$

En coordonnées galiléennes $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ cette équation s’écrit

(21-15)

${\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial t}}=0.$

Semblable à l’équation de continuité de l’hydrodynamique (60-14), elle est l’expression de la loi de conservation de l’électricité.

100. La force électrodynamique.

Supposons un espace-temps euclidien et adoptons des coordonnées galiléennes. Dans le champ électromagnétique $\mathrm {X} ,$ $\mathrm {Y} ,$ $\mathrm {Z} \,;$ $\mathrm {L} ,$ $\mathrm {M} ,$ $\mathrm {N} ,$ les composantes $\mathrm {K} _{1},$ $\mathrm {K} _{2},$ $\mathrm {K} _{3}$ de la force mécanique qui s’exerce sur l’unité de volume contenant charges et courants sont données par les formules de la théorie habituelle (formules qui sont rigoureuses ainsi que nous l’avons montré en relativité restreinte) :

(22-15)

$\;\left\{{\begin{aligned}\mathrm {K} _{1}&=\mathrm {X} \mathrm {P} +\mathrm {N} v-\mathrm {M} w,\\\mathrm {K} _{2}&=\mathrm {Y} \mathrm {P} +\mathrm {L} w-\mathrm {N} u,\\\mathrm {K} _{3}&=\mathrm {Z} \mathrm {P} +\mathrm {M} u-\mathrm {L} v.\end{aligned}}\right.$

D’autre part, le travail accompli par le courant pendant l’unité