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deuxième partie. — la relativité généralisée.

subsistait. Dans la théorie d’Eddington, l’Univers n’est assujetti qu’à la condition, évidemment nécessaire, de posséder une structure géométrique ; il paraît impossible de réduire davantage les hypothèses : c’est le moins qu’on puisse supposer.

117. Théorie géométrique de l’Univers (Eddington).

Prendre un système de coordonnées signifie choisir quatre familles d’espaces pour diviser en cellules l’Univers quadridimensionnel ; dans chacune de ces familles, chaque espace peut être caractérisé par un nombre (c’est, en somme, faire un numérotage). Il résulte de là qu’un déplacement $dx_{\mu }$ est un exemple simple de vecteur absolu, car les différences de coordonnées s’expriment par des nombres purs, indépendants de tout système de jauges.

Soit $\mathrm {A} _{\mu }$ un vecteur absolu représentant un déplacement infiniment petit au point d’Univers $\mathrm {P} .$ Si nous voulons que l’Univers ait une structure géométrique, il faut admettre qu’en un point $\mathrm {P} '$ infiniment voisin de $\mathrm {P}$ nous pouvons trouver un déplacement équivalent à $\mathrm {A} ^{\mu }\,;$ ce déplacement n’est pas $\mathrm {A} ^{\mu },$ car (comme au n^o 70) il faut tenir compte d’une pseudo-variation de $\mathrm {A} ^{\mu }$ attribuable au caractère curviligne des coordonnées, même si le vecteur est déplacé « sans variation absolue » ou « par déplacement parallèle ». Pour un déplacement $dx_{\nu }$ infiniment petit du vecteur $\mathrm {A} ^{\mu },$ la pseudo-variation peut être limitée à une expression linéaire, parce que $\mathrm {A} ^{\mu }$ et $dx_{\nu }$ sont infiniment petits. Dans la théorie d’Einstein, cette pseudo-variation a pour expression (n^o 70)

$-{\begin{Bmatrix}\nu \alpha \\\mu \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\alpha }.$

Ici, le symbole de Christoffel doit être remplacé par une fonction à trois indices que nous préciserons plus loin, et que nous désignerons par $\Gamma _{\nu \alpha }^{\mu }\,;$ cette fonction n’est pas nécessairement un tenseur. La pseudo-variation s’écrit

(9-18)

$-\Gamma _{\nu \alpha }^{\mu }\mathrm {A} ^{\alpha },$