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chapitre XVIII. — champ de gravitation et champ électromagnétique.

et, par déplacement parallèle, on a

(10-18)

$d\mathrm {A} ^{\mu }+\Gamma _{\nu \alpha }^{\mu }\mathrm {A} ^{\alpha }\,dx_{\nu }=0.$

$\mathrm {A} ^{\alpha }$ étant un déplacement infiniment petit $\mathrm {P} \mathrm {P} _{1}=dx_{\alpha },$ qui par déplacement parallèle devient $\mathrm {P} '\mathrm {P} '_{1},$ la condition pour qu’on arrive au même point $\mathrm {P} '_{1}$ en interchangeant les deux déplacements $dx_{\alpha },\;dx_{\nu }$ est

$\Gamma _{\nu \alpha }^{\mu }=\Gamma _{\alpha \nu }^{\mu }.$

La symétrie en $\nu$ et $\alpha$ de $\Gamma _{\nu \alpha }^{\mu }$ est la condition pour que la géométrie soit « affine » ; elle exprime que l’Univers possède en chaque point un Univers euclidien tangent.

Le tenseur de Riemann-Christoffel généralisé. — Faisons maintenant décrire au vecteur $\mathrm {A} ^{\mu }$ un circuit fermé très petit, par déplacement parallèle ; nous pouvons répéter identiquement les calculs du n^o 74, en remplaçant les symboles de Christoffel par les $\Gamma ,$ et nous obtenons, au lieu de (5-14),

(11-18)

$\delta \mathrm {A} _{\mu }={\frac {1}{2}}\iint {}^{\star \!}\mathrm {R} _{\rho \nu \sigma }^{\mu }\mathrm {A} ^{\rho }\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma },$

en posant

(12-18)

${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\rho \nu \sigma }^{\mu }={\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }-{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\Gamma _{\nu \rho }^{\mu }+\Gamma _{\nu \alpha }^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\alpha }-\Gamma _{\sigma \alpha }^{\mu }\Gamma _{\nu \rho }^{\alpha }.$

L’aire à laquelle s’étend l’intégrale double doit être très petite, car le vecteur $\mathrm {A} ^{\mu }$ n’est défini que sur le contour ; toute ambiguïté est évitée si l’aire est infiniment petite et l’on a

(13-18)

$d\mathrm {A} ^{\mu }={\frac {1}{2}}{}^{\star \!}\mathrm {R} _{\rho \nu \sigma }^{\mu }\mathrm {A} ^{\rho }\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma },$

$d\mathrm {A} ^{\mu }$ est un vecteur, car c’est la variation de $\mathrm {A} ^{\mu }$ quand on est revenu au point de départ, $\mathrm {A} ^{\rho }$ est un vecteur,

$d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }\left(=-d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }=dx_{\nu }\,dx_{\sigma }\right)$

est un tenseur, par conséquent ${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\rho \nu \sigma }^{\mu }$ est un tenseur, et c’est un