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deuxième partie. — la relativité généralisée.

tenseur absolu, car nous n’avons eu à faire intervenir aucun système de jauges.

Ce tenseur est la généralisation du tenseur de Riemann-Christoffel, les symboles de Christoffel étant remplacés par les $\Gamma .$

Contractons ${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\rho \nu \sigma }^{\mu },$ nous obtenons la généralisation du tenseur $\mathrm {R} _{\rho \nu }$

(14-18)

${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\rho \nu }={}^{\star \!}\mathrm {R} _{\rho \nu \sigma }^{\sigma }={\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }-{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\Gamma _{\nu \rho }^{\sigma }+\Gamma _{\nu \alpha }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\alpha }-\Gamma _{\sigma \alpha }^{\sigma }\Gamma _{\nu \rho }^{\alpha }.$

Ces deux tenseurs absolus ${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\rho \nu \sigma }^{\mu }$ et ${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\rho \nu }$ traduisent les propriétés intrinsèques du continuum. On n’en voit pas d’autres qui jouissent des mêmes propriétés.

Pour introduire les $g_{\mu \nu },$ il nous faut adopter un système de jauges quelconque, mais défini. Nous définissons la longueur $l$ d’un déplacement $\mathrm {A} ^{\mu }$ par

(15-18)

$l^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\nu },$

$l^{2}$ est un invariant à l’égard du système de coordonnées ; $g_{\mu \nu }$ est un tenseur symétrique.

Un système de coordonnées étant adopté, les $\mathrm {A} ^{\mu }$sont des nombres purs, mais $l^{2}$ dépend, par les $g_{\mu \nu },$ du système de jauges. La longueur n’est donc pas un invariant absolu ; c’est une convention purement géométrique et non une notion physique. Imprimons à $\mathrm {A} ^{\mu }$ un déplacement parallèle le long de $dx_{\sigma },$ nous avons

(16-18)	$d(l^{2})$	$=\!\left(\!{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\nu }+g_{\mu \nu }\mathrm {A} ^{\nu }{\frac {\partial \mathrm {A} ^{\mu }}{\partial x_{\sigma }}}+g_{\mu \nu }\mathrm {A} ^{\mu }{\frac {\partial \mathrm {A} ^{\nu }}{\partial x_{\sigma }}}\!\right)dx_{\sigma }\quad$
		$=\!\left(\!{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}-g_{\alpha \nu }\Gamma _{\sigma \mu }^{\alpha }-g_{\mu \alpha }\Gamma _{\sigma \nu }^{\alpha }\!\right)\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\nu }dx_{\sigma }$	[d’après (10-18)]

ou, en écrivant

$\Gamma _{\sigma \mu ,\nu }=g_{\alpha \nu }\Gamma _{\sigma \mu }^{\alpha }:$

(17-18)

$d(l^{2})=\left({\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}-\Gamma _{\sigma \mu ,\nu }-\Gamma _{\sigma \nu ,\mu }\right)\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\nu }\,dx_{\sigma }.$

Puisque $d(l^{2})$ est un invariant (à l’égard du système de coordonnées), la quantité entre parenthèses est un tenseur ; désignons celui-ci par $2\varphi _{\mu \nu ,\sigma }$ (symétrique en $\mu$ et $\nu$)

$2\varphi _{\mu \nu ,\sigma }={\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}-\Gamma _{\sigma \mu ,\nu }-\Gamma _{\sigma \nu ,\mu }.$